e)  QUESITI SULLE EQUAZIONI PARAMETRICHE DI 2° GRADO

 E’ data l’equazione

 Si chiede di determinare il parametro m in modo che:

i)              la somma delle soluzioni valga 4

ii)            il prodotto delle soluzioni valga 2

iii)          le soluzioni siano coincidenti

iv)          una soluzione sia uguale a 2

v)            la somma dei quadrati delle soluzioni sia 10

vi)          le soluzioni siano reciproche l’una dell’altra

vii)        le soluzioni siano antireciproche

viii)      le soluzioni siano opposte

i)  

Sappiamo che in ogni equazione di 2° grado

la somma delle soluzioni è sempre uguale a  

(opposto del rapporto fra il secondo e il primo coefficiente).

Porremo perciò la condizione  ,

per poi cercare i valori del parametro che la soddisfano.

Abbiamo trovato m=3.  Facciamo la verifica!

Andiamo a vedere cosa diventa la nostra equazione nel caso m=3,

e risolviamola, per controllare che la somma delle soluzioni valga proprio 4:

ii)       

Sappiamo che in ogni equazione di 2° grado

il prodotto delle soluzioni è sempre uguale a  

(rapporto fra il termine noto e il primo coefficiente)

Porremo perciò la condizione ,

per poi cercare i valori del parametro che la soddisfano.

Abbiamo trovato un’equazione, nell’incognita m, impossibile.

Ciò significa che non esiste alcun valore di m per cui il prodotto delle soluzioni valga 2.

Insomma, nella famiglia delle infinite equazioni  ,

non ne esiste nemmeno una nella quale il prodotto delle soluzioni valga 2.

iii)     

MOLTO IMPORTANTE !!!  In un’equazione di 2° grado

le soluzioni sono coincidenti se e solo se  

Nel caso poi in cui b sia pari, questa condizione può essere rimpiazzata

dalla condizione, equivalente ma più comoda,  .

Ad esempio, l’equazione   

ha soluzioni coincidenti quando    ossia

Verifica nel caso   (la verifica nell’altro caso è lasciata allo studente per esercizio):

iv)     

Molto banalmente:

una data equazione

ammette come soluzione

un dato numero

se e solo se, sostituendo quel numero

al posto dell’incognita,

si ottiene un’uguaglianza vera.

    Verifica tu, caro studente, che con m=7/2 l’equazione ammette le due soluzioni  x=7/5  e,  appunto, x=2.

v)      

La verifica, in ciascuno dei due casi,

è lasciata allo studente.

Con  m=−5/13

le due soluzioni sono irrazionali;

tuttavia, come si constata col calcolo,

la somma dei loro quadrati dà proprio 10.

LE FORMULE DI WARING

Vale l’identità  

che ci permette di ricondurre la somma dei quadrati

alla somma e al prodotto delle basi.

Abbiamo, in pratica, utilizzato la prima di una sequenza

di formule, chiamate formule di Waring,

le quali permettono di esprimere una somma di

due potenze di ugual grado (quadrati, cubi, …)

in funzione della somma delle basi e del loro prodotto.

vi)    

 Ricordiamo che due numeri

 si dicono “reciproci”

 se il loro prodotto è 1

 quindi se  ognuno di essi

 è uguale a “1 fratto l’altro”.

 Ad esempio,

 sono reciproci i numeri

  e ;    e ;    e  

vii)    

“Antireciproco” significa

“l’opposto del reciproco”.

Ad es., sono antireciproci

i due numeri  e .

Due numeri sono

antireciproci se e solo se

hanno per prodotto  1.

viii)            

Molto banale: due numeri sono opposti se e solo se la loro somma è 0.

Verifica. La nostra equazione  diventa, con  ,

Ora, in campo reale questa equazione NON ha soluzioni opposte, come si desiderava,

bensì è impossibile; tuttavia, sconfinando in campo complesso si può scrivere:

 quindi si ottengono due soluzioni effettivamente opposte.

Ricapitolando, il valore richiesto di m

q     non esiste se intendiamo che le soluz. debbano obbligatoriamente appartenere a ,

q     esiste ed è m=−5 se ammettiamo che le soluzioni possano essere cercate in tutto .