10.  MANIPOLAZIONI DI GRAFICI

 

 

 

 

Partiamo dal grafico di una funzione fissata

 

.

 

Per meglio fissare le idee,

le nostre figure si riferiranno

sempre allo stesso esempio

di funzione di partenza:

abbiamo scelto la

 

 

 

Vedremo come, semplicemente “manipolando”

il grafico della funzione “madre”,

è possibile ottenere i grafici

delle seguenti funzioni “figlie”

(essendo k una costante positiva):

 

                  

                  

           

                  

 

 

 

 

 

 

 

 

traslazione

verticale

di k unità

verso l’alto se c’è il ,

verso il basso se c’è il  

 

        

 

          

 

 

     

 

      

 

 

 

 

dilatazione

(  )

o contrazione

(  )

in senso

verticale,

coi punti

sull’asse x

che rimangono

fermi:

 

“effetto

fisarmonica”

verticale.

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

                 

 

                       

 

ribaltamento rispetto all’asse orizzontale

 

                   

 

             

 

                    

 

simmetrizzazione rispetto all’asse verticale

 

 

 

               

 

             

                                

 

                           

 

 

traslazione orizzontale, con “EFFETTO BASTIAN CONTRARIO”:

verso sinistra se c’è il , verso destra se c’è il  

 

Perché mai questo “effetto bastian contrario”?

Consideriamo il caso della coppia  e , e riflettiamo.

Prendo la funzione , do un valore a , ad es. , e calcolo la  corrispondente:

ottengo un certo numero .

Ora, se voglio ottenere la stessa ordinata con l’altra funzione , che valore dovrò dare a ?

Dovrò dare a  il valore 1, in modo da avere .

Quindi, la  assume gli stessi valori della , ma … 2 unità più a sinistra!!!

 

 

 

 

                     

 

                       

 

                

                           

 

 

dilatazione o contrazione orizzontale, coi punti sull’asse y

che rimangono fermi: “effetto fisarmonica”orizzontale.

Attenzione, anche qui c’è un “EFFETTO BASTIAN CONTRARIO”:

si ha una contrazione con , una dilatazione con .

 

 

 

          

 

                

 

                   

 

La parte del grafico della  

che ha ordinate negative

viene sostituita

con la sua simmetrizzazione

 rispetto all’asse orizzontale.

 

                      

 

                                 

 

                                      

 

La parte del grafico della  

che ha ascisse negative

viene cancellata e buttata via.

La parte con ascisse positive viene riconfermata,

e completata con la sua simmetrica rispetto all’asse verticale.

 

 

 

 

 

 

         

 

            

 

 

 

Per ogni ascissa,

l’ordinata corrispondente

viene elevata al quadrato.

Ora, occorre tener presente che

un numero compreso fra   e  ,

quando viene elevato alla seconda,

produce un numero positivo,

il cui valore assoluto

è MINORE

del valore assoluto

del numero di partenza.

 

Ad esempio,

elevando al quadrato

il numero 0,5

 si ottiene 0,25

ed è 0,25<0,5.

 

 

 

 

 

 

               

 

 

 

 

 

La parte del grafico con ordinate negative

viene buttata via.

Ciascun punto con ordinata positiva

viene sostituito da un punto

che ha ordinata uguale alla radice quadrata di quella iniziale

(mentre, naturalmente, l’ascissa rimane la stessa).

In particolare:

i punti di ordinata 0 e di ordinata 1 rimangono fissi;

se un punto ha ordinata maggiore di 1, si abbassa:

 

 

 

se un punto ha ordinata compresa fra 0 e 1,

si alza leggermente

(pur restando sempre al di sotto dell’ordinata 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per ogni ascissa, si prende

l’ordinata corrispondente

e se ne fa il reciproco.

 

Ma se un’ordinata è nulla,

il suo reciproco non esiste!

Quindi con ,  

(valori per cui si annulla il denominatore)

la funzione  non esiste.

 

Inoltre, le ordinate vicine a 0,

quando se ne fa il reciproco,

si mutano in ordinate

molto grandi in valore assoluto .

 

Invece le ordinate molto grandi,

facendone il reciproco, si mutano

in ordinate molto piccole.

 

Le ordinate uguali a  oppure a ,

quando se ne fa il reciproco,

restano invariate.

 

 

 

 

 

Le due rette verticali

   e  ,

e la retta orizzontale

,

sono dette“asintoti”

per la funzione

 

 

 

ALTRE MANIPOLAZIONI possono effettuarsi

SPEZZANDO IL PROCEDIMENTO GRAFICO IN PIÙ FASI.

 

Ad esempio, il passaggio dal grafico di    a quello di   

può essere organizzato secondo le “tappe” (vedi figura qui a fianco):

 

.

 

ESERCIZI CONCLUSIVI

 

 

Su ciascuna delle funzioni seguenti:

1)      

2)      

3)      

 

effettua le “manipolazioni” qui sotto indicate:

 

a)       

b)       

c)       

d)       

e)       

f)         

g)       

h)      

i)         

 

 

 

4)     Traccia il grafico di , e da questo ricava i grafici seguenti:

l)         

m)     

n)       

o)       

p)     

q)     

r)        

s)        

 

 

Risolvi graficamente (poi anche algebricamente) le seguenti equazioni:

5)      

6)      

7)      

8)      

9)      

10) 

 

 

 

 

Per controllare

la correttezza

dei grafici tracciati,

puoi servirti ad esempio

del freeware

GEOGEBRA.

 

 

Occhio alle parentesi!

 

 

Ad es.

 

 

 

si scrive