9.  FUNZIONI QUADRATICHE: PARABOLE

Parliamo ora delle funzioni “di 2° grado”, o “quadratiche”, la cui equazione è della forma .

Disegnando questa curva per punti,

ci si rende conto che essa presenta

una simmetria “assiale”,

cioè una simmetria rispetto a una retta

(tratteggiata nella figura).

La presenza di un asse di simmetria

consente di tracciare il grafico con più facilità:

calcolate le coordinate di un punto,

dopo averlo disegnato

possiamo immediatamente disegnare

anche un altro punto,

quello che è simmetrico del primo

rispetto all’asse.

Abbiamo indicato con V (“V” di “vertice”)

il punto di ordinata minima del grafico.

Questa seconda curva

è “capovolta”

rispetto alla precedente;

inoltre la sua “curvatura”

è meno accentuata.

Entrambe le circostanze

sono legate al coefficiente

del termine di 2° grado

nelle rispettive equazioni,

come è spiegato più avanti.

Il vertice in questo caso

è il punto di ordinata massima.

Una funzione di 2° grado  ha come grafico una “parabola”.

Il segno del coefficiente  determina l’orientamento della “concavità” ovvero della “parte cava”:

·       :  concavità rivolta verso l’alto   

·       :  concavità rivolta verso il basso   

Il valore assoluto di  si dice “apertura” perché è in relazione col fatto che la curvatura della parabola sia

·       più “dolce” (valori di  piccoli)

·       o più accentuata (valori di  grandi)

Si dimostra che l’ascissa del “vertice” (che possiamo provvisoriamente descrivere come il punto della parabola

avente ordinata minima oppure massima, o anche come l’intersez. della parabola col proprio asse di simmetria)

è calcolabile tramite la formula

.

Trovata con questo calcolo l’ascissa del vertice, la rispettiva ordinata si potrà determinare facilmente:

basterà semplicemente sostituire, nell’equazione della parabola, al posto di x il valore trovato.

Ad esempio, nel caso della parabola di equazione  ,

il calcolo fornisce:     da cui successivamente    

L’individuazione del vertice è la prima cosa che conviene fare, quando si vuole disegnare una parabola,

come d’altronde il tracciamento dell’asse di simmetria, che è poi la retta verticale passante per il vertice,

ossia la retta formata dai punti di ascissa  (brevemente: la retta di equazione  ).

Un ultimo esempio.

  si può riscrivere come  .

E’ dunque  ,  quindi anche  .

Ma se il vertice ha ascissa 0, esso si troverà sull’asse delle

ordinate, che sarà perciò l’asse di simmetria per la curva.

D’altronde, che la curva fosse simmetrica rispetto all’asse y

lo si poteva capire pure dal fatto che,

non essendoci il termine contenente x

ma solo il termine con  e il termine noto, dando a x

due valori opposti si ottiene sempre lo stesso valore di y!

−3

−5

−2

0

−1

3

0

4

1

3

2

0

3

−5

10.  FUNZIONI DELLA PROPORZIONALITA’ INVERSA: IPERBOLI

Una funzione della forma , con k costante, è detta “funzione della proporzionalità inversa”,

perché le due variabili in gioco, x e y, sono inversamente proporzionali:

se x raddoppia, y si dimezza; se x triplica, y si riduce alla terza parte; ecc. ecc.

Tracciamo ad esempio il grafico della funzione .

Otterremo un’armoniosa curva in due rami, della quale una caratteristica che balza subito in evidenza

è la simmetria “centrale”, dove il centro di simmetria è l’origine del riferimento cartesiano.

Si potrebbe dimostrare che si tratta di una “iperbole”.

q     Quando x diventa grande grande (x=1000, x=1000000, …),  y  diventa piccola piccola, “si schiaccia a zero”.

q     Quando x si avvicina a 0 da destra, ossia “per valori positivi”, la y corrispondente tende a  

q     Quando x si avvicina a 0 da sinistra, ossia “per valori negativi”, la y corrispondente tende a  

q     Quando x tende a , la y corrispondente tende a 0 dal basso, per valori negativi