6.  QUALCHE CENNO ALLA “GEOMETRIA ANALITICA”

Abbiamo visto nelle pagine precedenti che le rette verticali fanno eccezione rispetto alle altre rette,

perché non vengono associate ad un’equazione della forma ,  bensì della forma  .

Come insegna quella branca della matematica che è chiamata “Geometria Analitica”,

si possono far rientrare tutte le rette, verticali e non, nella categoria delle curve individuate da un’equaz.

di 1° grado in x e y, ossia da un’equazione della forma , con  a, b, c  costanti non tutte nulle.

Voglio dire: si può dimostrare che l’insieme dei punti  del piano cartesiano, le cui coordinate soddisfano

ad un’equazione di tal forma, è sempre una retta, e che, viceversa, data una qualsiasi retta nel piano cartesiano,

essa può essere associata ad un’equazione della forma , nel senso che si può sempre trovare

un’equazione di tal forma la quale sia verificata dalle coordinate di tutti e soli i punti della retta in questione.

E nella famiglia delle rette  le verticali saranno tutte, e sole, quelle per le quali è .

Osserviamo che, data un’equazione del tipo , i suoi coefficienti

non sono determinati in modo unico, bensì lo sono “a meno di una costante moltiplicativa”.

Intendo con ciò che, se una data equazione  individua una certa retta r, allora

individueranno r anche tutte (e sole) le equazioni , con  costante arbitraria non nulla.

Per esempio:

q       l’equazione  individua una retta, che potrà essere disegnata più agevolmente

se si porta l’equazione stessa in “forma esplicita”, quella che presenta  y  isolata al primo membro:

… ma anche , ottenuta moltiplicando per , individua la medesima retta.

q       Ancora: tanto l’equaz.  quanto la  o la  o la  o la   

individuano sempre la stessa retta verticale , luogo dei punti di ascissa 3.

La Geometria Analitica sviluppa l’idea secondo la quale, così come un punto del piano cartesiano

è individuato, ossia è localizzato in modo univoco, dalla coppia delle sue coordinate ,

altrettanto una linea (curva o retta) sul piano cartesiano, se è sufficientemente regolare,

può essere individuata da un’equazione nelle due variabili x e y,

nel senso che può essere associata a un’opportuna equazione nelle due variabili x, y

la quale sia verificata dalla coppia  delle coordinate di tutti i punti della curva, e di essi soltanto.

Non sempre tale equazione sarà tale da definire una funzione di x in y, 

cioè un legame che a partire da un valore di x permetta di determinare un solo valore di y.

Ad es., prendiamo la circonferenza  di centro l’origine e raggio 5.

Per determinare l’equazione di questa curva,

cerchiamo di stabilire quale sia la condizione

alla quale deve soddisfare un punto  del piano cartesiano,

per appartenervi.

 è il luogo dei punti del piano cartesiano,

la cui distanza dall’origine è uguale a 5 unità di misura.

Quindi un punto  del piano cartesiano apparterrà a  

se e soltanto se risulterà .

Ma per quali valori della coppia  

è verificata la relazione ?

Se noi traduciamo in coordinate la relazione ,

otterremo (vedi figura qui a fianco)

che è perciò l’equazione cercata.

Un punto del piano cartesiano fa parte della circonferenza  

se e solo se la coppia  delle sue coordinate

soddisfa a tale equazione.

Osserviamo che l’equazione in esame non definisce una funzione:

se infatti provassimo a portare in forma esplicita, isolando y,

otterremmo un doppio segno

che ci confermerebbe ciò che è già geometricamente evidente:

non è vero che a un valore di x corrisponda un solo valore di y.

Nel volume 1 avevamo visto che

la distanza fra due punti

 e  

nel piano cartesiano è data dalla formula

Dunque

per cui si avrà  se e solo se

 o anche