8.  GRAFICI DI POTENZE E RADICI, e della funzione “VALORE ASSOLUTO”

     FUNZIONI PARI, DISPARI, NE’ PARI NE’ DISPARI

 

 

 

 

Nelle figure qui sopra riportate vediamo i grafici delle tre funzioni

 

,  ,  .

 

E’ importante osservare un fatto piuttosto curioso:

quando è   e   (  ),  si ha  .

Ad esempio, con ,   è   .

 

Un numero compreso fra 0 e 1,

quando viene moltiplicato per sé stesso, diminuisce,

e se viene moltiplicato per sé stesso più volte,

produce un risultato che è tanto più piccolo

quanto più alto è il numero delle moltiplicazioni effettuate.

 

La figura qui a destra, ad esempio, confronta    con   

 

Le funzioni della forma ,

ossia le potenze ad esponente pari,

sono caratterizzate dal fatto che, dando a x due valori opposti,

si ottiene il medesimo valore di y:

insomma, per ogni x, è .

Le funzioni dotate di questa proprietà sono dette “funzioni  ”.

 

Le funzioni pari sono tutte e sole quelle

 il cui grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Un altro esempio di funzione pari è .

 

 

La figura qui a fianco mostra i grafici delle tre funzioni

 

,   ,    .

 

Le funzioni della forma ,

ossia le potenze ad esponente dispari,

sono caratterizzate dal fatto che, dando a x due valori opposti,

si ottengono valori di y opposti:

insomma, per ogni x, è .

Le funz. dotate di questa proprietà sono dette “funzioni  ”.

 

Le funzioni dispari sono tutte e sole quelle

 il cui grafico è simmetrico rispetto all’origine.

Altri esempi di funzioni dispari:  ,   

 

 

              

 

 Data una funzione , per stabilire se è PARI o DISPARI o NE’ L’UNA NE’ L’ALTRA COSA,

 si va a calcolare  come negli esempi che seguono:

 

 

 

Ecco il grafico della funzione ,

che è definita solo per .

E’ notevole il comportamento

fra l’ascissa 0 e l’ascissa 1:

se  ,  è   

Più in dettaglio:   

La radice quadrata di un numero compreso fra 0 e 1

è maggiore del numero stesso!

Ed ecco il grafico della funzione ,

il cui dominio è tutto .

Il grafico è simmetrico rispetto all’origine;

in effetti, in questo caso, la funzione è “dispari”:

.

Vale ancora quanto detto per la radice quadrata:

la radice cubica di un numero compreso fra 0 e 1

è maggiore del numero stesso.

 

 

Qui a fianco è rappresentata la funzione

 

che abbiamo voluto confrontare

con la funzione tratteggiata ,

per evidenziare che:

 

quando è   

si ha    (essendo  )

mentre quando è  

si ha    (essendo  )

 

 

Ed ecco infine il grafico , dalla caratteristica forma a “  ”, della .

Si tratta di una funzione PARI perché ;

in effetti, il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

 

 

 

 

 

 

La funzione “VALORE ASSOLUTO”!!!

ESERCIZI

 

a)  Utilizzando una macchinetta calcolatrice, compila la seguente tabella, finalizzata ad evidenziare che

quando un numero è compreso fra 0 e 1,

·        la sua radice quadrata, la sua radice cubica ecc. sono maggiori del numero stesso

·        mentre il suo quadrato, il suo cubo ecc. sono minori del numero stesso

e invece quando un numero è maggiore di 1, avviene il viceversa.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

b)  Fra le seguenti funzioni, stabilisci quali sono pari, quali dispari, quali né pari né dispari:

      1)        2)       3)      4)       5)       6)  

c)  Determina il valore dei seguenti limiti:

      7)    8)    9)    10)    11)    12)  

 

RISPOSTE   1 d   2 p   3 né…   4 p   5 né…   6

non ha senso chiederselo:

il dominio non è simmetrico

rispetto all’ascissa 0.

7    8    9   

10    11    12