NUMERI COMPLESSI

 1. “IMPOSSIBILE”? UAH, UAH!

Com'è noto, la radice quadrata è l'operazione inversa

rispetto all'elevamento al quadrato; vale a dire,

la radice quadrata di un numero x è quel numero y

il quale, se elevato al quadrato, dà come risultato x

(con la convenzione che, in caso di risultato “doppio”,

 si prende solo quello positivo:

  e NON  ).

Ora, poiché elevando un numero al quadrato

si ottiene sempre risultato positivo (o, al più, nullo),

ne deriva che l'estrazione di radice quadrata

di un numero negativo è impossibile.

In particolare, è dunque impossibile l'operazione

.

D'altra parte, se provi a ripercorrere, per un istante, la tua "carriera" scolastica, ti verranno in mente

diversi casi di operazioni che in un primo tempo ritenevi impossibili,

e che invece poi, con l'ampliarsi delle tue conoscenze, sono risultate possibili.

a)      Ad esempio:

quando frequentavi le elementari,

e non avevi ancora sentito parlare né di frazioni, né di numeri con la virgola,

ma ti limitavi a lavorare esclusivamente coi numeri interi,

di fronte all'operazione  (divisione, ossia operazione inversa della moltiplicazione) avresti detto:

è un'operazione impossibile, se si cerca il risultato esatto!

Infatti non esiste alcun numero intero il quale, moltiplicato per 4, dia come risultato 23.

Se la stessa operazione 23:4 ti fosse stata, invece, proposta ai tempi della scuola media,

avresti tratto una conclusione differente, affermando che l'operazione 23:4 dà come risultato

la frazione  (o, il che è lo stesso, il numero  ).

Ricapitolando e schematizzando:

l'operazione 23:4 coinvolge due numeri interi,

ma nell'ambito degli interi essa è priva di risultato ( = impossibile).

Nell'insieme, più vasto, dei numeri razionali (di cui gli interi sono casi particolari),

l'operazione diventa invece possibile ed ha come risultato il numero 23/4 ( = 5,75).

b)      Anche per un'operazione come

accade qualcosa di simile.

Il bambino delle scuole elementari lavora esclusivamente coi numeri assoluti ( = senza segno);

egli non ha mai sentito parlare di numeri positivi e negativi.

Se, dunque, gli viene proposta l'operazione , egli dirà che è impossibile.

Quando, alla fine della scuola media, lo stesso alunno avrà ampliato l'insieme dei numeri assoluti,

affiancando ad essi i numeri negativi, e pervenendo così all'insieme più ampio dei numeri relativi,

dirà invece che l'operazione è possibile e dà come risultato .

c)      E ancora: abbiamo dimostrato (pagg. 10-11) che non esiste alcun numero razionale

che elevato al quadrato dia come risultato 2. Pertanto,

l'operazione  è impossibile nell'ambito dei numeri razionali;

diventa possibile solo uscendo da tale insieme.

Se l'insieme  dei razionali viene ampliato, con l'aggiunta degli irrazionali,

così da pervenire all'insieme più vasto  (insieme dei numeri reali),

allora all'operazione  si potrà attribuire un risultato.

Bisognerà però, per forza, USCIRE da .

 2.  NUMERI IMMAGINARI, NUMERI COMPLESSI

Per l'operazione    in Algebra si percorre una strada analoga.

Tale operazione coinvolge un numero reale, ma non ha risultato nell'insieme .

Allora AMPLIEREMO l'insieme ,

passando ad un insieme più vasto nel quale l'operazione sia possibile.

Procediamo.

Indicheremo col simbolo  il risultato dell'operazione . 

Il numero  verrà detto "unità immaginaria". La sua proprietà fondamentale sarà dunque .

 non appartiene, non può appartenere, all'insieme ;

 è invece il "capostipite" di una nuova famiglia di numeri, ESTERNI AL "RECINTO" .

Moltiplicando l'unità immaginaria  per i numeri reali si ottengono nuove entità numeriche,

che vengono dette NUMERI IMMAGINARI.

Esempi:    

Sottolineiamo subito che le operazioni con queste nuove entità numeriche vengono definite

in modo tale che restino valide tutte le proprietà di cui le analoghe operazioni godono in .

Se noi ora prendiamo, ad esempio, il numero  e lo eleviamo al quadrato, avremo

Quindi il numero  risolve il problema di trovare un risultato

per la radice quadrata del numero negativo !

Anzi, è pure

e quindi, nell’insieme dei numeri immaginari,

il numero negativo  si trova ad avere ben DUE radici quadrate:

il numero immaginario  e il numero immaginario .

A ben guardare, la stessa operazione dalla quale avevamo preso le mosse, ossia ,

si ritrova ad avere DUE risultati:  e  (che si abbrevia in  ):

  (NOTA)

NOTA: quando il simbolo di radice è utilizzato con l’intesa

di poter uscire dal campo dei numeri reali per trovare il risultato dell’operazione,

allora non si “scarta” più nessun risultato,

e si parla di “radici” (al plurale) del numero considerato.

Generalizzando,

i numeri immaginari sono caratterizzati dal fatto che il loro quadrato è sempre un numero reale <0;

essi risolvono perciò il problema di estrarre la radice quadrata di un numero reale negativo qualsiasi:

La somma indicata di un numero reale con un numero immaginario

prende il nome di NUMERO COMPLESSO.

Esempi di numeri complessi sono:                     

L'insieme dei numeri complessi viene indicato col simbolo .

Per , l'espressione  diventa semplicemente ;

dunque possiamo considerare i numeri immaginari come casi particolari di numeri complessi.

Ma per , l'espressione  diventa semplicemente ;

quindi, anche i numeri reali possono essere visti come particolari numeri complessi,

e in definitiva, dal punto di vista insiemistico, la situazione è la seguente:

Abbiamo anticipato che le operazioni coi numeri complessi vengono definite

in modo tale che si conservino tutte le proprietà valide in campo reale.

Di conseguenza, per svolgere una qualunque operazione coi numeri complessi,

basterà basarsi sulle ordinarie regole del calcolo algebrico e letterale, applicandole nel modo consueto

(tutto ciò che occorre è semplicemente di ricordarsi che  ). Ad esempio:

Per quanto riguarda la divisione, essa può essere effettuata scrivendo la frazione corrispondente, e

moltiplicandone i termini per un medesimo numero (proprietà invariantiva delle frazioni), scelto in modo tale

da far sì che, dopo l'operazione, il denominatore “perda” l’unità immaginaria e diventi quindi un numero reale: