4.  A COSA SERVONO I NUMERI COMPLESSI

Adesso che abbiamo ben chiarito in quali ambiti i numeri complessi sono inutilizzabili,

andiamo a vedere invece dove ha senso (e utilità) impiegarli.

a)     Impiego dei numeri complessi in matematica pura

In Matematica pura, trattare determinate questioni in campo complesso può essere estremamente conveniente,

comodo, ed illuminante, nonché affascinante. A livello preuniversitario non è facile dare un’idea appropriata

di questo fatto (bisognerebbe infatti poter parlare, tanto per fare un esempio, di equazioni differenziali).

Qui ci limitiamo a citare un risultato di estremo interesse, chiamato Teorema Fondamentale dell’Algebra,

la cui prima dimostrazione è attribuita al tedesco Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e datata 1799.

NOTA 1 - Si dice “equazione algebrica” un’equazione della forma ,

                 con  polinomio a coefficienti in  o in . Equazione algebrica = equazione polinomiale.

NOTA 2 - Si dice “grado” di un’equazione algebrica , il grado del polinomio .

Affermare che  è soluzione dell’equazione  equivale ad affermare che .

Ma se , il Teorema del Resto,

il quale si estende anche al caso in cui i coefficienti, e i valori che la variabile può assumere, siano complessi,  

assicura che il resto della divisione  è zero

e quindi garantisce che il polinomio  è divisibile per il binomio  

ovvero scomponibile in un prodotto                         

dove  è un nuovo polinomio, il cui grado è inferiore di un’unità rispetto al grado di .

Applicando ora il Teorema Fondamentale dell’Algebra al polinomio ,

avremo che esiste certamente, nell’insieme dei numeri complessi, un  tale che .

Ma allora il polinomio  potrà essere scomposto in  

dove  è un polinomio il cui grado è inferiore di un’unità rispetto al grado di .

Se ne trae che per il polinomio di partenza si avrà la scomposizione .

E’ evidente la possibilità di procedere allo stesso modo fino a scomporre  in fattori tutti di 1° grado.

In definitiva, il T. F. A. garantisce che ogni polinomio di grado n

    ,

a coefficienti complessi o in particolare reali, ammette una scomposizione della forma:

(anche se non indica in alcun modo se e come si possa

 effettivamente realizzare, nella pratica, tale scomposizione).

Ma da qui, tenendo conto della “legge di annullamento del prodotto”

(un prodotto di numeri complessi o in particolare reali è uguale a zero se e solo se

è uguale a zero almeno uno dei fattori), si trae una conseguenza molto elegante e rilevante, ossia:

NOTA 3

La definizione di “molteplicità di una soluzione ( = radice) di un’equazione algebrica”

può essere formulata in diversi modi equivalenti.

Ad esempio, possiamo dire che una soluzione  di un’equazione algebrica  ha molteplicità k

se solo se il polinomio  è divisibile per il binomio  per esattamente k volte di seguito.

Oppure che una soluzione  di un’equazione algebrica  ha molteplicità k se solo se

il fattore  compare per esattamente k volte nella scomposizione di  in fattori di 1° grado

(scomposizione la cui esistenza è garantita appunto dal Teorema, sebbene il Teorema stesso

 non dia alcuna indicazione su come effettivamente possa essere realizzata tale scomposizione).

Esempio.  Prendiamo l’equazione di quarto grado .

 Possiamo fattorizzare, ottenendo  .  Dunque:

 e abbiamo trovato 4 soluzioni, tante quant’è il grado dell’equazione:

.

 Se invece ci fossimo confinati ad operare nel solo insieme  dei numeri reali,

 avremmo individuato una sola soluzione  (  ),

 o, tenendo conto della molteplicità, 2 soluzioni  (  )

Facciamo un’ulteriore riflessione su quanto visto.

    Consideriamo un’equazione algebrica (si dice anche “equazione polinomiale”)  P(x) = 0.

    Supponiamo che i coefficienti di questa equazione siano tutti reali.

    Può darsi ora che l’equazione non ammetta nessuna soluzione nell’ambito dei numeri reali;

    però il Teorema Fondamentale dell’Algebra assicura che certamente una soluzione esiste,

    quando la cerchiamo nell’insieme  dei numeri complessi.

    Si può dunque affermare che l’ insieme  “completa”, dal punto di vista algebrico, l’insieme .

Osserviamo ancora che, anche volendo restare esclusivamente nell’ambito dei numeri reali, nella

teoria delle equazioni algebriche l’utilizzo dei numeri complessi sembra “imporsi per forza propria”.

Basti pensare che la formula generale per la risoluzione delle equazioni di 3° grado obbliga ad operare

coi numeri complessi nei passaggi intermedi, anche in quei casi in cui le soluzioni sono poi tutte reali.

Questo fatto portò sconcerto negli algebristi del Cinquecento

che per primi ebbero a incontrarsi e “scontrarsi” coi numeri immaginari.

Su questi interessantissimi argomenti, vedi ad esempio, su Internet:

♪       ð

♫      ð

Limitandoci ora per un momento alle sole equazioni di 2° grado,

la conoscenza dei numeri complessi ci permette di affermare che

Esempi:

,   due soluz. reali distinte

,   due soluz. reali coinc.

,

impossibilità in  

ma due soluzioni in  

 Due numeri complessi si dicono “coniugati” se hanno ugual parte reale, e coeff. dell’immaginario opposti.

Ad esempio, una coppia di complessi coniugati è  .

Se un numero reale viene pensato come elemento dell’insieme , risulta essere il coniugato di sé stesso.

Si può dimostrare che se un’equazione algebrica a coefficienti reali ammette una certa soluzione , allora anche  

( = il complesso coniugato di  ) sarà senz’altro soluzione della stessa equazione. In breve, si può dunque dire che

 “in un’equaz. algebrica a coeff. reali, le soluzioni si presentano sempre in coppie di complessi coniugati”.

Terminiamo qui il nostro discorso sulle equazioni algebriche, citando ancora, da ultimo,

l’interessante risultato seguente, facilmente giustificabile per via grafica:

 “un’equazione algebrica a coeff. reali, di grado dispari, ammette sempre almeno una soluzione reale”.

b)  Impiego dei numeri complessi In Fisica e in Ingegneria

Per quanto riguarda gli importantissimi settori di impiego dei numeri complessi in Fisica e in Ingegneria,

ti propongo alcuni contributi scaricati da Internet.

q         Dal sito www.guardian.co.uk

QUESTION:

ANSWERS:

     Traduzione:

       Introdurre la radice quadrata, o le radici quadrate, di 1, è conveniente perché

i)          (in tal modo) tutti i polinomi di grado n con coefficienti reali hanno n “zeri”

        e così, quindi, l’algebra diventa “completa”

       NOTA: in Inglese si parla di “radice” (“root”) di un polinomio,

       per indicare un valore che, assegnato alla variabile,

       renda uguale a 0 il valore del polinomio.

       In Italiano si preferisce parlare di “zeri” quando ci si riferisce ad un polinomio,

       e di “radici” (o “soluzioni”) con riferimento, invece, ad un’equazione.

       Tuttavia, anche in lingua italiana, i termini “zero” e “radice” sovente

       vengono impiegati indifferentemente sia per polinomi che per equazioni,

       diventando quindi, nell’uso di parecchi autori, dei sinonimi.

ii)        Permette di fare a meno dell’uso di matrici per rappresentare quegli oggetti il cui quadrato è 1

       (oggetti che rappresentano una parte importante della struttura di equazioni lineari

        che compaiono in meccanica quantistica, diffusione del calore, ottica, ecc.)

      Traduzione:

        Sono enormemente utilizzati in matematica e fisica applicata.

        I numeri complessi (somma di numeri reali e numeri immaginari)

        si presentano in modo assai naturale nello studio della fisica quantistica.

        Sono utili per modellizzare i moti periodici (ad esempio le onde nell’acqua o le onde luminose)

        come pure le correnti alternate.

        Comprendere l’analisi complessa, lo studio delle funzioni di variabile complessa,

        ha reso i matematici capaci di risolvere problemi di fluidodinamica

        in particolare per problemi sostanzialmente bidimensionali in cui gli effetti dovuti alla viscosità sono piccoli.

        Si può anche comprendere l’instabilità di tali sistemi e il loro evolvere verso la turbolenza.

        Tutte le questioni di cui sopra sono rilevanti nel mondo reale,

        perché permettono di capire più chiaramente come pompare il petrolio negli impianti di trivellazione,

        come i terremoti scuotono gli edifici e come i dispositivi elettronici (es. transistor e microchip)

        funzionano a livello quantistico (il che è via via più importante al crescere della miniaturizzazione).

      Traduzione:

        Domanda a qualsiasi fisico o ingegnere (meccanico, civile od elettrico)

        come se la caverebbero senza utilizzare la radice quadrata di 1.

        Ti diranno che la maggior parte della nostra tecnologia dipende da essa.

        Per esempio, senza l’uso dei numeri immaginari per calcolare varie teorie sui circuiti,

        non staresti leggendo queste righe su di un computer.

      Traduzione:

        I numeri immaginari possono essere molto utili per risolvere problemi ingegneristici.

        Per esempio, se hai un pendolo che oscilla, comincerà a rallentare e prima o poi si fermerà.

        Se vuoi fare una analisi quantitativa del moto del pendolo in un certo intervallo di tempo

        (es. ricavare una formula) allora il miglior modo di farlo è usare i numeri complessi.

q         Tanto di cappello, poi, a Philip Spencer dell’Università di Toronto (Canada)

che si occupa splendidamente di numeri complessi e delle loro applicazioni sulla pagina web

http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/complexinlife.html  dalla quale riporto questo estratto:

In elettronica, lo stato di un elemento di circuito è descritto da due numeri reali

(la differenza di potenziale fra le sue estremità e la corrente elettrica I che scorre in esso).

Un elemento di circuito può possedere anche una capacità C e un’induttanza L che

(parlando in modo semplice) descrivono la sua tendenza a resistere ai cambiamenti di differenza di potenziale

e di corrente rispettivamente. L’elemento di circuito, invece di dover essere descritto da due diversi numeri

reali V e I, può essere descritto da un singolo numero complesso  z = V + i I

(NOTA: a volte si usa, in questi contesti, il simbolo j al posto del simbolo i per indicare l’unità immaginaria,

 proprio perché una I - maiuscola o anche minuscola - è già “impegnata” per indicare l’intensità della corrente).

Analogamente, l’induttanza e la capacità possono essere pensate

come la parte reale e (il coeff. della parte) immaginaria di un altro singolo numero complesso  w = C + i L.

Le leggi dell’elettricità possono essere espresse usando l’addizione e moltiplicazione fra numeri complessi.

Un altro esempio è l’elettromagnetismo. Piuttosto che cercare di descrivere un campo elettromagnetico

tramite due quantità reali (l’intensità del campo elettrico e l’intensità del campo magnetico), è meglio

rappresentarla attraverso un singolo numero complesso, di cui la componente elettrica e magnetica

sono semplicemente le parti reale e immaginaria.