18.  RADICALI E VALORI ASSOLUTI

Consideriamo l’espressione .

Essa ha significato qualunque sia il segno di  (quindi:  sia per  ,  che per    o   ),

perché, qualunque sia il segno della base, un quadrato è sempre positivo o nullo (mai negativo)

e perciò la radice quadrata di un quadrato si può sempre estrarre.

Chiediamoci ora: è sempre giusto scrivere  

Beh, è giusto solo se , perché se invece il numero  è negativo, sarebbe sbagliato !!!

Ad es., nel caso  ,  l’uguaglianza    non “funziona”, perché  vale  e non .

Riflettendo bene, l'uguaglianza che vale sia per  che per , è la seguente:

 (14)     MOLTO IMPORTANTE l’introduzione del simbolo di VALORE ASSOLUTO !

Osserviamo che invece con una radice ad indice dispari (ad esempio, una radice cubica)

NON avremmo dovuto introdurre le stanghette di valore assoluto;

insomma, vale, qualunque sia il segno del numero reale a, l'uguaglianza

 (15)   

(ricordiamo ancora una volta che nel caso di un radicale con indice dispari,

 sia il radicando che il risultato possono essere positivi, nulli o negativi

 e il risultato ha sempre lo stesso segno del radicando).

Analogamente, avremo, qualunque sia il segno del numero a:

 (16)   

La (16) è ricavabile dalla (14) con la catena .

Anche qui, in situazioni affini che però portino una radice cubica al posto della quadrata,

le stanghette non vanno introdotte:

 (17)   

Osservazione - E' chiaro che nella (14) e nella (16) possiamo fare a meno delle stanghette di val. assoluto

in tutti quei casi in cui si sa per certo che il numero indicato con a è .

Ancora:

il radicale  ha significato sia quando a, b sono entrambi positivi, sia quando sono entrambi negativi.

Ma l'uguaglianza  vale soltanto nel primo caso (  ).

L'uguaglianza che vale anche con a, b entrambi negativi è

 (18)   

Il problema non sussiste con indice dispari: qualunque siano i segni di a, b, è sempre

 (19)   

 Generalizzando, si vede che vale la seguente comoda REGOLA:

 LE STANGHETTE DI VALORE ASSOLUTO VANNO INTRODOTTE NEI CASI IN CUI,

 OPERANDO CON UN RADICALE AD INDICE PARI, A PARTIRE DA UN FATTORE

 DI GRADO PARI SI PASSA AD UNO  O PIU’  FATTORI DI GRADO DISPARI per effetto

·        di una semplificazione indice-esponente (proprietà invariantiva)

·        o dell'estrazione di un fattore dal segno di radice

·        o dello "spezzamento" di un radicale con la regola per la radice di un prodotto o di un quoziente.

 Il simbolo di “modulo” si può evitare, in questi casi,

 solo se il numero che andrebbe a finire entro le stanghette è .