20. ESPONENTI FRAZIONARI

Come è ben noto, una potenza con esponente intero è definita come un prodotto di fattori tutti uguali fra loro

(tanti fattori uguali alla base quante sono le unità dell’esponente): , , …

Si introducono poi gli esponenti 1 e 0; noi abbiamo scritto che le rispettive definizioni

(“un numero elevato a 1 è uguale a sé stesso”)

(“un numero elevato a 0 è uguale a 1”, con la sola eccezione )

vengono scelte in questo modo perché sono le uniche che consentano alla proprietà sottrattiva degli esponenti

di continuare a valere (poi, con tali def., si dimostra che continuano ad essere valide tutte le “vecchie” proprietà).

Avremmo anche potuto introdurre i nuovi esponenti ragionando sull’opportunità che essi risultassero compatibili

con la additiva degli esponenti:

insomma, se desidero che si abbia, ad es., , è evidente che dovrò accettare la def.

e se desidero che risulti è ovvio che dovrò adottare la definizione .

Le definizioni degli esponenti negativi: …

sono motivate, sostanzialmente, dall’esigenza che si estenda anche a questi la validità delle “vecchie” proprietà,

così che (tanto per fare un esempio), se desideriamo che risulti vera l’uguaglianza ,

siamo necessariamente condotti a porre, per definizione, .

Dato che l’appetito vien mangiando, ci possiamo chiedere se possano avere un senso (e un’utilità)

anche gli esponenti frazionari.

Ad esempio, che definizione sarà “logico” stabilire per una scrittura come ?

Beh, volendo attribuire a questa scrittura un significato compatibile con le proprietà

già dimostrate valide in un ambito di esponenti interi, dovrà, in particolare, risultare

per cui la scrittura in esame dovrà indicare quel numero il cui cubo è …

ma questo numero è la radice cubica di !

Dunque si porrà, per definizione, e, in generale, .

Poi, sempre nell’ottica di adottare definizioni tali che non si perda la validità di nessuna delle “vecchie” proprietà,

si pone

e infine

Dunque, per fare qualche esempio specifico,

RICAPITOLIAMO le definizioni date:

In definitiva le potenze

ad esponente frazionario

non sono altro che un modo alternativo

di rappresentare i radicali!

Avvertiamo subito che con gli esp. frazionari, si intende sempre che la base della potenza sia positiva

( per i frazionari positivi, per i frazionari negativi), altrimenti si avrebbero gravi inconvenienti:

ad esempio, per la scrittura si potrebbero scrivere entrambe le catene

; che evidentemente si contraddicono fra loro.

LA CONSERVAZIONE DELLE PROPRIETA’

Per le potenze a esponente frazionario sopra introdotte, si può dimostrare che conservano la loro validità

proprio tutte le proprietà che si era abituati ad applicare con esponente intero, nessuna esclusa.

Tali dimostrazioni si effettuano utilizzando le già dimostrate proprietà dei radicali.

q Verifichiamo, tanto per fare un esempio, che continua a valere la additiva degli esponenti:

q E la moltiplicativa? Eccone la dimostrazione:

Le dimostrazioni delle altre proprietà sono lasciate a te, caro lettore, se lo vuoi, come utile esercizio.

Comprendiamo a questo punto che un’espressione coi radicali potrebbe anche essere trasformata in espressione

con esponenti frazionari, svolta utilizzando le proprietà delle potenze, e magari conclusa ritornando ai radicali.

q Un esempio:	Prova a rifare l’espressione applicando le proprietà dei radicali: uscirà il medesimo risultato!
q Dài, un altro!

LE POTENZE AD ESPONENTE FRAZIONARIO E IL COMPUTER Di solito in un software scientifico l’elevamento a potenza si indica con l’accento circonflesso ^ … ma attenzione! Occorre anche saper utilizzare in modo opportuno le parentesi. q Ad esempio, se lavorando con un software matematico io digito , non otterrò , bensì ! Per ottenere devo digitare infatti , perché se scrivo il software eleverà x all’esponente 1, poi dividerà per 3. q Ancora: per ottenere si digita , o anche Abbiamo detto che una potenza con esponente frazionario va sempre intesa con base positiva. E in effetti quasi tutti i programmi per computer rispettano questa convenzione, tant’ è vero che, ad esempio, se io desidero il grafico della funzione , la quale esiste anche per , digitando mi ritroverò soltanto METÀ del grafico, quella che si riferisce alle . Per avere il grafico completo, si può però ricorrere al “trucco” di sovrapporre i due grafici a) della (che verrà tracciato solo per ) b) e della (che verrà tracciato solo per )

ESERCIZI Vai alle risoluzioni ð

a) Determina il valore delle seguenti espressioni numeriche:

1)	2)	3)	4)	5)
6)	7)	8)	9)	10)

b) Esegui le seguenti espressioni con radicali trasformando in potenze con esponente frazionario:

11)	12)	13)	14)
15)	16)	17)	18)

RISULTATI

1)	2)	3)	4)	5)	6)		7)		8)	9)	10)
11)	12)	13)	14)	15)		16)		17)		18)