SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL 1°

1.  GRADO DI UN SISTEMA. METODI GENERALI DI RISOLUZIONE

 Si dice “grado” di un sistema il prodotto fra i gradi delle sue equazioni.

q        

q        

Va detto che a volte un sistema “appare” di grado n, mentre in realtà il “vero” grado è inferiore.

Ad esempio, il sistema seguente:

appare di 2° grado, ma un semplice passaggio mostra che è invece sostanzialmente di 1° grado.

La problematicità, dato un sistema, di stabilire a priori quale sia il suo grado effettivo,

rende ardua l’enunciazione, per i sistemi, di un teorema analogo a quello che è,

per le equazioni, il “Teorema Fondamentale dell’Algebra”.

E’ possibile, comunque, affermare che

un sistema di grado n non può avere più di n soluzioni

(eccettuati i casi in cui il sistema risulti indeterminato).

E’ chiaro che questo discorso sul “grado” si può riferire esclusivamente a quei sistemi

nei quali le equazioni in gioco sono tutte algebriche (ossia, della forma “polinomio = 0”)

Importante tener presente che, quando si dice “SOLUZIONE” con riferimento a un sistema,

si intende:

·       una COPPIA ORDINATA di numeri, se il sistema ha due incognite;

·       una TERNA ORDINATA di numeri, se il sistema ha tre incognite;

·       ecc.

Il metodo più generale per la risoluzione di un sistema è quello di sostituzione;

è possibile comunque applicare anche “riduzione”,

ossia rimpiazzare un’equazione, quando lo si ritenga conveniente,

con una combinazione lineare (NOTA) dell’equazione stessa con una o più fra le altre.

NOTA: “combinazione lineare” di due o più oggetti matematici (equazioni, vettori, …)

              è ciò che si ottiene sommandoli algebricamente,

              dopo aver eventualmente moltiplicato ciascuno di essi per una costante numerica.

Vediamo un paio di esempi.

Il sistema assegnato, che era di 2° grado, ammette dunque le 2 soluzioni:    e   

ESERCIZI (sistemi di grado superiore al 1°)  Vai alle correzioni  ð

3)      4)      5)      6)      7)            

8)   9)   

 (sottrarre

 innanzitutto

 membro a membro)

10)  

11)       12)       13)       14)  

SOLUZIONI

3)          4)           5)           6) Imp. (in  )    

7)       8)        9)       10)  

11)      12)      13)      14)