Cap. 10: POLIGONI REGOLARI; COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

 

 

 

 10.1 - TRIANGOLI RETTANGOLI PARTICOLARI

 

A)  FORMULE RIGUARDANTI IL QUADRATO

  (e il triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45°)

 

 

Consideriamo un quadrato ABCD.

 

Se conosciamo la misura del lato: ,

quanto misurerà la diagonale?

 

Applicando il Teorema di Pitagora otteniamo:

 

         

 

Perciò: 

 

 

Conseguenza:

 

 

in un TRIANGOLO RETTANGOLO CON GLI ANGOLI ACUTI DI 45°

(che può essere visto come la metà di un quadrato):

 

q       L’IPOTENUSA E’ UGUALE AL CATETO MOLTIPLICATO  

 

q       IL CATETO E’ UGUALE ALL’IPOTENUSA DIVISO  

 

 

 

Ricordiamo che   

 

 

 

 

Nella seconda figura

si suppone di partire dalla misura  dell’ipotenusa

(ipotenusa per il triangolo, diagonale per il quadrato).

Essendo , invertendo si ha: .

E’ possibile, volendo, razionalizzare, ottenendo:

.

 

Ma … razionalizzare è proprio “obbligatorio”?

No! E’ però spesso conveniente,

 

♪        o per rendere più semplice l’espressione

(ad es., se è , si avrà

 )

 

♫       oppure per rendere più semplici

eventuali calcoli successivi sul valore trovato.

 

B)  FORMULE RIGUARDANTI IL TRIANGOLO EQUILATERO

 (e il triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60°)

 

 

Consideriamo un triangolo equilatero ABC.

 

Se conosciamo la misura del lato: ,  

quanto misurerà l’altezza CH?

 

Applicando il Teorema di Pitagora otteniamo:

 

         

 

Perciò:   

Conseguenze:

 

 

In un TRIANGOLO RETTANGOLO CON GLI ANGOLI ACUTI DI  30° e 60°

(che può essere visto come la metà di un triangolo equilatero):

 

q       IL CATETO MINORE E’ META’ DELL’IPOTENUSA

(e quindi l’ipotenusa è il doppio del cateto minore)

 

q       IL CATETO MAGGIORE E’ UGUALE AL CATETO MINORE MOLTIPLICATO  

(e quindi:   il cateto maggiore è uguale a metà ipotenusa moltiplicato  

                  mentre il cateto minore è uguale al cateto maggiore diviso  )

 

 

Ricordiamo che  

 

Le figure seguenti riassumono le situazioni che si possono incontrare nei problemi:

dato un lato di un triangolo rettangolo “particolare” 90°−30°−60°,

determinare i lati rimanenti, utilizzando le formule apprese o eventualmente invertendole.

 

 

 

 

 

 ESERCIZI

 

 Con riferimento

 alle figure qui a fianco,

 calcola i perimetri

 dei tre triangoli

 e del trapezio rettangolo,

 verificando che è: