SEZIONE AUREA

 Definizione.  Si dice “sezione aurea” di un segmento, quella parte del segmento

                       che è media proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente.

Preso un segmento AB di lunghezza ,

e detta AP la sua sezione aurea, avremo:

Posto ora , sarà  da cui:

e risolvendo:

 Dunque la sezione aurea di un segmento di lunghezza  misura   

Essendo , si ha che la sezione aurea di un segmento è lunga circa 0,618 volte il segmento stesso.

TEOREMA

Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla sezione aurea del raggio.

Delle due figure qui a fianco, la prima mostra un decagono regolare inscritto;

quella sottostante evidenzia uno solo dei dieci triangolini isosceli uguali

in cui il decagono regolare è suddiviso dai raggi

che ne congiungono i vertici col centro.

Vogliamo dimostrare che AB è uguale alla sezione aurea del raggio OB.

Cominciamo col domandarci: quanto misura l'angolo ?

Ovviamente, la risposta è  360°:10 = 36°.

E perciò avremo .

Tracciando, ora, la bisettrice AW dell'angolo ,

risulterà  , e nel triangolo ABW si avrà

.

Le misure angolari così ricavate garantiscono che:

·       AWO è isoscele (AW = OW);

·       ABW è isoscele (AB = AW = OW) e simile a BOA.

Da questa similitudine si trae la proporzione

OB : AB = AB : BW,

la quale, essendo AB = OW, può essere riscritta come

OB : OW = OW : BW.

Ma ciò prova che OW è la sezione aurea di OB;

ed essendo, appunto, AB = OW, il teorema è dimostrato.

E’ pertanto   

Sopra:

un decagono regolare

inscritto.

Sotto:

un particolare della figura.