10.5 - LA FORMULA DI ERONE

Questa celebre formula esprime l’area di un triangolo, in funzione delle misure dei suoi lati.

Sia ABC un triangolo qualunque.

Adottando una simbologia molto efficace, e molto utilizzata,

indichiamo con:

·         a  la misura del lato opposto al vertice  A,

·         b  la misura del lato opposto al vertice  B,

·         c  la misura del lato opposto al vertice  C.

Il nostro obiettivo è di esprimere l’area S del triangolo

in funzione delle tre misure a, b, c.

A tale scopo, proponiamoci innanzitutto

di determinare la misura

dell’altezza CH relativa alla base AB.

Posto AH = x, avremo:

 (Pitagora su AHC),

ma anche:

 (Pit. su BHC).

Sarà dunque, per la proprietà transitiva,

e da questa equazione

potremo ricavare x:

Ora che abbiamo determinato AH = x,

andiamo a calcolare CH

applicando Pitagora

al triangolo rettangolo AHC

(vedi colonna qui a fianco)  

E’ quindi

Abbiamo così costruito la bella

Ad ESEMPIO,

l’area di un triangolo

di lati 7, 8 e 9 cm,

e quindi

di semiperimetro

(7+8+9)/2=12 cm,

misura  

.

ovvero

.

A PROPOSITO

Detti  A, B, C  i vertici di un triangolo,

a, b, c  i lati rispettivamente opposti,

e indicato con p il SEMIperimetro

del triangolo,

le distanze dei punti di contatto

della circonferenza inscritta

dai tre vertici A, B, C

 valgono rispettivamente

,

 come indicato in figura:

dimostra questo bell’ enunciato!  ð