10.6 - IL RAGGIO DEL CERCHIO INSCRITTO IN UN TRIANGOLO,

           ESPRESSO IN FUNZIONE DEI LATI

Sia ABC un triangolo qualunque,

e siano a, b, c le misure dei suoi lati.

Indichiamo con r la misura del raggio del cerchio inscritto.

Il nostro obiettivo è di esprimere r in funzione di a, b, c.

Innanzitutto, osserviamo che, detta S l’area di ABC, è

Ora, dalla formula

ricaviamo, invertendo:

che è sostanzialmente la formula cercata,

vista la possibilità, volendo,

di esprimere l’area S in funzione dei lati a, b, c tramite la Formula di Erone.

 10.7 - IL RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO,

           ESPRESSO IN FUNZIONE DEI LATI

Sia ABC un triangolo qualunque,

e siano a, b, c le misure dei suoi lati.

 Indichiamo con R la misura del raggio

 del cerchio circoscritto.

 Il nostro obiettivo è di esprimere R in funzione di a, b, c.

Nella figura, abbiamo disegnato il diametro AD:  .

Osserviamo inoltre che l’angolo  è retto

perché inscritto in una semicirconferenza.

Abbiamo anche tracciato l’altezza CH relativa alla base AB,

e posto, per comodità,

CH = h.

I due angoli  e  sono uguali perché sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco;

allora i due triangoli CHB, ACD sono simili (entrambi rettangoli, e con un angolo acuto uguale).

Vale dunque la proporzione

da cui si ricava

La formula cercata è, in definitiva,