TEOREMA

(the “Hat” Theorem = il Teorema “del Cappello”!

vedi pagina successiva a questo proposito)

Se da un punto esterno si conducono le due tangenti ad una circonferenza,

allora:

    I)    i due segmenti di tangente sono uguali;

   II)   la congiungente il punto esterno col centro è bisettrice

·         sia dell’angolo formato dalle due tangenti,

·         sia dell’angolo formato dai due raggi che vanno ai punti di contatto;

III)   infine, tale congiungente è l’asse della corda avente per estremi i punti di contatto.

IPOTESI

PA, PB tangenti

TESI

  I)   

 II)   

III)  PO è l’asse di AB

DIMOSTRAZIONE

     I)   Basta confrontare i due triangoli POA, POB.

           Essi sono entrambi rettangoli

           perché una tangente è sempre perpendicolare al raggio che va al punto di contatto,

           e sono uguali per il Criterio Particolare di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli

           (ipotenusa OP in comune, OA = OB perché raggi di una stessa circonferenza).

           Segue subito la tesi.

II)  Conseguenza immediata dell’uguaglianza di triangoli dimostrata per la parte I)

   III)  Il punto P è equidistante dagli estremi del segmento AB (infatti PA = PB come già dimostrato);

          quindi, P appartiene all’asse di AB. Lo stesso dicasi del punto O:

          si ha OA = OB perché entrambi raggi, quindi O appartiene all’asse di AB.

          Ma allora PO, congiungente due punti dell’asse di AB, E’ l’asse di AB, c.v.d.

Vedi la pagina a fianco per una trattazione molto sintetica, in Inglese, dell’argomento “rette tangenti”,

compreso il precedente “Teorema del Cappello”.

Potrai osservare come in lingua Inglese diversi nomi di teoremi siano particolarmente azzeccati!

Nel nome, infatti, sovente abbiamo anche una schematizzazione molto efficace dell’enunciato.

Già avevamo visto a suo tempo come i tre Criteri di Uguaglianza dei Triangoli

vengono denominati, in Inglese, rispettivamente:

·     the Side-Angle-Side Theorem (SAS): 1° Criterio

·     the Angle-Side-Angle Theorem (ASA): 2° Criterio

·     the Side-Side-Side Theorem (SSS): 3° Criterio

Qui potrai notare altre denominazioni molto “indovinate”, quali:

·     the “Hat” theorem appunto

·     the Hypotenuse Leg Postulate,

 ossia quello che noi avevamo chiamato “Criterio Particolare di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli”:

      “Se due triangoli rettangoli hanno rispettivamente uguali l’ipotenusa (Hypothenuse) e un cateto (Leg),

        allora sono uguali”.

      L’uso qui del termine “Postulate” anziché “Theorem” ci fa capire che

      nella loro organizzazione della Geometria, gli autori del sito www.regentsprep.org da cui è tratta la pagina

      hanno ritenuto di inserire questo enunciato fra gli Assiomi o Postulati anziché fra i Teoremi.

      NOTA:  lato (di triangolo, o di poligono) = Side; cateto, in un triangolo rettangolo = Leg

Tangents and Circles

A tangent to a circle is a line in the plane of the circle that intersects the circle in exactly one point.