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6.4 - ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ANGOLI AL CENTRO |
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Def. Si dice "angolo alla circonferenza" un angolo avente il vertice sulla circonferenza, e i lati i) ENTRAMBI SECANTI la circonferenza (angolo alla circonferenza "di prima specie") ii) oppure UNO SECANTE E L'ALTRO TANGENTE (angolo alla circ. "di seconda specie")
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Per un angolo alla circonferenza, l’angolo al centro “CORRISPONDENTE” è quello che contiene lo stesso arco, o, come si usa dire, che “insiste sullo stesso arco”. |
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sono corrispondenti
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sono corrispondenti
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TEOREMA Ogni angolo alla circonferenza è uguale a metà dell'angolo al centro corrispondente
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Per la dimostrazione, occorre distinguere vari casi (l’angolo alla circonf. sarà sempre
indicato con
q
1° caso:
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1) appartenga a uno dei lati dell'angolo
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2) sia interno all'angolo
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3) sia esterno all'angolo
Lasciata al bravo lettore. Per differenza anziché per somma … La TH è
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q
2° caso:
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1) appartenga a uno dei lati dell'angolo
Semplicissimo: perché una tangente ad una circonf. è sempre perpendicolare al raggio che va al punto di contatto; ma pertanto |
2) sia interno all'angolo
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3) sia esterno all'angolo
Lasciata al diligente lettore. Per differenza anziché per somma … La tesi è |
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COROLLARIO 1 Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su di uno stesso arco sono uguali.
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Infatti sono tutti uguali a metà dello stesso angolo al centro!
Nella figura:
perché sono tutti uguali a |
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COROLLARIO 2 Un angolo alla circonferenza che insiste su di una semicirconferenza (o, come si preferisce dire, che "è inscritto" in una semicirconferenza; o, come si suole anche dire seppure impropriamente, che "insiste su un diametro"), è RETTO.
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Nella figura,
l’angolo alla circonferenza "insiste" sulla semicirconferenza che va da A fino a B, e NON passa per V; si può anche dire (e, in effetti, si preferisce dire) che "è inscritto" nell’altra semicirconferenza (quella che va da A fino a B, passando per V). Bene! dell’angolo al centro corrispondente che è piatto.
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IN ALTERNATIVA , la dimostrazione dello stesso enunciato si potrebbe anche effettuare applicando, al triangolo ABV, il teorema secondo cui "se in un triangolo la mediana relativa ad un lato è metà del lato stesso, allora il triangolo è rettangolo (e, precisamente, l'angolo retto è quello opposto al lato in questione)".
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COROLLARIO 3 In un triangolo rettangolo, la circonferenza avente per diametro l'ipotenusa passa per il vertice dell'angolo retto.
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Questo teorema, che può essere pensato come l'inverso del precedente corollario 2, si può dimostrare in diversi modi. Ad esempio, è bella la seguente dimostrazione per assurdo.
Sia ABC un triangolo rettangolo in C; se la circonferenza di diametro AB non passasse per C, allora intersecherebbe il lato BC (o il suo prolungamento) in un punto D distinto da C. Perciò l'angolo dal punto A si potrebbero condurre alla retta BC due distinte perpendicolari, mentre sappiamo che la perpendicolare per un punto dato a una retta data è unica.
L’assurdo trovato dimostra la tesi. |
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