6.6 - POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA

Definizione

Un poligono si dice:

"inscritto in una circonferenza" se

tutti i suoi vertici stanno sulla circonferenza

"circoscritto ad una circonferenza" se

tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza

Se un poligono è inscritto in una circonferenza, si dice che questa circonferenza è "circoscritta" al poligono;

e se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, questa si dirà “inscritta" nel poligono.

PROPRIETA’ DEI  QUADRILATERI  INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

TEOREMA

In un quadrilatero inscritto, o inscrivibile, in una circonferenza,

gli angoli opposti sono supplementari

IPOTESI  ABCD inscritto (o inscrivibile) in una circonferenza

TESI       

Dimostrazione

… e analogamente, tracciando OA e OC,  per la somma .

TEOREMA (inverso del precedente)

Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una circonferenza.

IPOTESI  ABCD ha gli angoli opposti supplementari:  

TESI         ABCD è inscrivibile in una circonferenza

                  ( = esiste una circonferenza, che passi per tutti e quattro i punti A, B, C, D)

Dimostrazione

Consideriamo la circonferenza (certamente esistente, per un teorema noto)

che passa per i tre punti A, B, C: vogliamo dimostrare che essa contiene anche D.

Infatti, se, per assurdo, tale circonferenza NON passasse per D,

allora intersecherebbe la retta CD in un punto E, distinto da D (NOTA).

Il quadrilatero ABCE sarebbe dunque inscritto in una circonferenza, e di conseguenza, per il teorema diretto,

avrebbe gli angoli opposti supplementari; in particolare,  sarebbe supplementare di .

Ma anche  è, per ipotesi, supplementare di , quindi si avrebbe :

entreremmo così in contraddizione col Teorema dell’Angolo Esterno (applicato al triangolo AED).

    NOTA:

    il punto E potrebbe trovarsi all’interno del segmento CD, oppure su uno dei suoi prolungamenti;

    comunque il ragionamento da farsi è, in entrambi i casi, il medesimo.

TEOREMA.   In un quadrilatero circoscritto, o circoscrivibile, ad una circonferenza,

                        la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due.

IPOTESI:  ABCD circoscritto (o circoscrivibile) ad una circonferenza

TESI          AB+DC = AD+BC

Dimostrazione

Molto semplice, basata sul

“teorema del Cappello”,

quello secondo il quale

i due segmenti di tangente

condotti a una circonferenza

da un punto esterno sono uguali.

Dimostrazione

Molto semplice, basata sul

“teorema del Cappello”,

quello secondo il quale

i due segmenti di tangente

condotti a una circonferenza

da un punto esterno sono uguali.

TEOREMA (inverso del precedente)

Un quadrilatero in cui la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due,

è circoscrivibile ad una circonferenza

IPOTESI  AB+DC = AD+BC

TESI         ABCD è circoscrivibile ad una circonferenza

                   ( = esiste una circonf., che sia tangente a tutti e quattro i lati di ABCD)

Dimostrazione

Consideriamo la circonferenza tangente a TRE dei quattro lati,

ad esempio ai lati AD, AB e BC (NOTA);

vogliamo dimostrare che tale circonferenza è tangente anche al lato rimanente DC.

Infatti, se, per assurdo, la circonferenza in questione non fosse tangente a DC,

allora, conducendo da D l’altra tangente (oltre a DA) alla circonferenza,

tale tangente sarebbe una retta distinta da DC,

e, quindi, andrebbe a intersecare la retta BC in un punto E, distinto da C.

Il quadrilatero ABED risulterebbe, dunque, circoscrivibile ad una circonf., e di conseguenza, per il teor. diretto,

la somma di due suoi lati opposti sarebbe uguale alla somma degli altri due:  .

                                                              Tuttavia si ha anche, per ipotesi,  …

… quindi da quanto scritto seguirebbe, sottraendo membro a membro, che   .

Ma , e allora nel triangolo CDE un lato sarebbe uguale alla differenza degli altri due: assurdo.

NOTA  Occorre però, se si vuol esser rigorosi, dimostrare l’ESISTENZA di detta circonferenza.

             A tale scopo, consideriamo la bisettrice a dell’angolo  e la bisettrice b dell’angolo .

             Ciascuno dei due angoli  e  è minore di un angolo piatto;

             quindi la somma delle loro metà è minore della somma di due retti, ossia minore di un piatto.

Insomma,  e quindi le due rette a e b, non formando

angoli coniugati interni supplementari, non sono parallele: si devono incontrare.

Indichiamo con W il loro punto di intersezione, e proiettiamo W su AD, AB, BC.

Poiché W appartiene alla bisettrice di , avremo , e poiché W

appartiene anche alla bisettrice dell’angolo , avremo pure .

In definitiva, è . Se noi ora puntiamo il compasso in W

con apertura uguale a , la circonferenza che tracceremo:

I)    passerà per H, K, S;

II)   e sarà tangente, in questi punti, alle tre rette AD, AB e BC, per il fatto che

        ciascuna di queste tre rette è perpendicolare ad un raggio nel suo estremo.

             La nostra tesi (l’esistenza di una circonf., tangente a tutte e tre le rette AD, AB, BC) resta così provata.

 TEOREMA

 Per ogni TRIANGOLO, esistono sempre

 sia la circonf. inscritta che la circonf. circoscritta.

♪        Il centro della circonferenza INSCRITTA

         coincide col punto di incontro delle BISETTRICI,

         ossia con l’ INCENTRO;

♫       il centro della circonferenza CIRCOSCRITTA

         coincide col punto di incontro degli ASSI,

         ossia col CIRCOCENTRO.

La dim. è basata su enunciati già acquisiti … comunque, puoi vederla a pag. 152.