GEOMETRIA: ESERCIZI SUL CAPITOLO 6

1)      ESERCIZIO SVOLTO

      In una stessa circonferenza,

a)      due corde uguali hanno ugual distanza dal centro;

b)      e viceversa, se due corde hanno ugual distanza dal centro, allora sono uguali.

 a)  

     HP   

     TH     

DIM.

Traccio i due raggi OA e  

e confronto i due triangoli :

·         sono entrambi rettangoli

·           (raggi di una stessa circonf.)

·          

 *  è noto che la perpendicolare a una corda

           condotta dal centro dimezza la corda stessa

quindi  per il Criterio Particolare

di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli

(hanno rispett. uguali l’ipotenusa e un cateto).

Segue la tesi.

 b)  

     HP    

     TH    

DIM.

Traccio i due raggi OA e  

e confronto i due triangoli :

·         sono entrambi rettangoli

·           (raggi di una stessa circonf.)

·           (ipotesi)

quindi  per il Criterio Particolare

di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli.

Segue ;

allora è pure    c.v.d.

* AB e A’B’ sono i doppi di AH e A’H’ risp.,

   perché è noto che la perpendicolare a una corda

   condotta dal centro dimezza la corda stessa.

2)      ð Dimostrare che in una circonferenza, due punti di una corda,

che abbiano ugual distanza dagli estremi di questa, sono anche equidistanti dal centro.

(Indicazione: dal centro, condurre la perpendicolare alla corda)

3)      ð Dato un angolo convesso di vertice O e di lati a, b, se con centro in O si traccia una circonferenza

di raggio r, che intersechi la semiretta a in A e la b in B, poi con centri A e B rispettivamente si

tracciano altre due circonferenze sempre con lo stesso raggio r della precedente, allora, detto C il 2°

punto di intersezione (oltre a O) di tali due ultime circonferenze, la semiretta OC è bisettrice di .

4)      Se si traccia una circonferenza con centro nel vertice A di un triangolo isoscele ABC di base BC,

e si indicano con D, E i punti in cui tale circonferenza taglia i lati obliqui (o i loro prolungamenti

dalla parte della base), allora la congiungente DE è parallela a BC.

5)      In una circonferenza, si tracciano un diametro AB e una corda CD ad esso parallela.

Si indicano poi con  e  rispettivamente, le proiezioni dei punti C e D su AB.

Dimostrare che .

6)      Se in una circonferenza due corde uguali AB e CD vengono prolungate

di due segmenti uguali , allora l’asse del segmento PQ passa per il centro

(basta dimostrare che il centro è equidistante da P e da Q …)

7)      ð  Se in una circonf., dai due estremi di un diametro, si tracciano due corde parallele fra loro, allora:

 I)  queste corde sono uguali     II)  la congiungente gli altri due estremi passa per il centro

8)   ESERCIZIO SVOLTO

       In una circonferenza di centro O, sia AB un diametro.

       Condotte le tangenti alla circonferenza in A e in B,

       e una terza tangente

       che incontri le altre due in C e in D,

       dimostrare che  è retto.

 HP   AB diametro, T punto della circonferenza

         AC, BD, CD (per T) tangenti

 TH   

NOTA

In generale, quando si traccia

una tangente ad una circonferenza,

è sempre consigliabile

 evidenziare con un quadratino

gli angoli retti che essa forma

con il raggio che va al punto di contatto.

 DIMOSTRAZIONE

 E’ noto che quando da un punto esterno partono due tangenti a una circonferenza,

 la congiungente il punto esterno col centro è bisettrice

 sia dell’angolo formato dalle due tangenti,

 sia dell’angolo formato dai due raggi che vanno ai punti di contatto.

 Ora, pensando alle due tangenti che si tagliano in C, ne consegue

 e pensando alle due tangenti che si tagliano in D, ne deriva

 Allora, poiché , si avrà

9)      Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due tangenti,

l’angolo da queste formato e l’angolo formato dai due raggi che vanno ai punti di contatto

sono fra loro supplementari.

10)   ð Siano PA e PB le due tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno P.

Sia C un punto arbitrario, preso sul più piccolo dei due archi di estremi A e B.

Si tracci la tangente in C e si indichino con D, E i punti in cui questa tangente interseca PA e PB.

Dimostrare che il perimetro del triangolo PDE rimane costante, al variare del punto C.

11)   ð Considera due circonferenze concentriche (sia O il centro comune),

      e un punto A esterno ad entrambe.

Traccia le due tangenti AB, AC alla circonferenza maggiore,

e le due tangenti AD, AE alla minore (con B, D situati dalla stessa parte rispetto ad AO).

E’ richiesto di dimostrare che:

                                                  I.       

                                               II.       è un trapezio isoscele

                                             III.      il punto di incontro delle diagonali di BCED sta su AO.

12)  ESERCIZIO SVOLTO

In una circonferenza di centro O

è inscritto un triangolo ABC (vedi figura).

Si tracciano l’altezza AH e il diametro AD.

E’ richiesto di dimostrare che

i due angoli  sono uguali

      HP   ABC triangolo inscritto

      TH   

DIMOSTRAZIONE

Congiungiamo C con D.

L’angolo  è retto perché inscritto in una semicirconferenza.

Gli angoli  e  sono uguali perché angoli alla circonferenza che insistono su di uno stesso arco.

Allora i due triangoli ABH e ADC,

poiché hanno due angoli rispettivamente uguali,

avranno uguale anche l’angolo rimanente:

13)    ð Considera un angolo alla circonferenza ,

             con B e C sulla circonferenza,

             tracciane la bisettrice, fino ad incontrare la circonferenza in D,

             poi per D traccia la parallela al lato AB dell’angolo,

             che incontri la circonferenza in E.

             Dimostra a questo punto che .

14)    ð Se i punti  

             “vedono un segmento dato AB sotto lo stesso angolo”,

 vale a dire:

 se ,

 allora i punti  stanno su di una stessa  circonferenza

 (dimostra, per assurdo,

  che la circonferenza passante per i 3 punti A, B, V

  deve necessariamente passare anche per V’ )

15)     Dimostra che la circonferenza, avente per diametro uno dei lati di un triangolo,

         interseca gli altri due lati nei piedi delle altezze ad essi relative.

16)     Siano PA e PB le due tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno P.

  Sia F un punto arbitrario, preso sul maggiore dei due archi di estremi A e B.

  La somma  rimane costante, al variare del punto F: dimostralo.

17)    ð La tangente nel punto medio di un arco è parallela alla corda sottesa dall’arco stesso;

e viceversa,

 se in una circonferenza una tangente è parallela a una corda, allora

 il punto di contatto è il punto medio dell’arco che sottende la corda.

 NOTA - Ricorda che in una circonferenza ad angoli al centro uguali

                corrispondono archi uguali e corde uguali, e viceversa.

18)     Due circonferenze di centri  e  sono tangenti esternamente in T.

  Tracciata per T una retta r, che intersechi la circonferenza di centro  in A,

  e quella di centro  in , dimostrare che il raggio  è parallelo al raggio .

19)     Due circonferenze di centri  e  sono tangenti esternamente in T.

  Tracciata per T una retta r,

  che intersechi la circonferenza di centro  in , e quella di centro  in ,

  e tracciate le tangenti in  e in , dimostrare che tali due rette tangenti sono parallele.

20)    ð Due circonferenze di centri  e  sono tangenti esternamente in T.

 Si traccino per T:

una retta r, che intersechi le due circonferenze rispettivamente in  e in ,

e una seconda retta s, che le intersechi rispettivamente in  e in .

Dimostrare che le due corde AB e  sono parallele fra loro.

21)     Due circonferenze sono tangenti internamente in B.

  Dall’estremo A del diametro AB della circonferenza maggiore, si conduca una tangente alla minore,

  che la tocchi in C e vada poi a intersecare la circonferenza maggiore in D.

  Dimostrare che:

I.           indicato con O il centro della circonferenza minore, è  

II.           BC taglia in due parti uguali ( = “biseca”) l’angolo  

22)     Su di una circonferenza di centro O, si prende un punto qualunque P,

  dopodiché, detto AB un diametro, si tracciano le due rette tangenti in P e in B,

  indicando con Q il loro punto di incontro.

  Dimostrare che la congiungente QO è parallela alla corda PA.

23)     Se una circonferenza è inscritta in un triangolo isoscele, il punto di contatto

  della base del triangolo con la circonferenza è il punto medio della base stessa.

24)    ð In un triangolo isoscele

       il vertice, il centro della circonferenza inscritta e il punto medio della base sono allineati.

25)    ð (L’ultima parte è molto impegnativa)

In un triangolo ABC,

le tre altezze sono AH, BK, CS, l’ortocentro è O.

  a)  Dimostra che il quadrilatero OHCK è inscrivibile in una circonf.

  b)  Dimostra che il quadrilatero ABHK è inscrivibile in una circonf.

  c)  I centri di tali due circonferenze stanno in posizioni molto

       particolari: sapresti specificarle? E giustificare la risposta?

  d)  Quali altri quadrilateri della figura

       sono inscrivibili in una circonferenza?

  e)  Dimostra che le tre altezze AH, BK, CS

       sono bisettrici degli angoli del triangolo HKS

       avente per vertici i piedi delle altezze stesse.

26)     Due circonferenze, di centri  e , sono secanti;

  A e B ne sono i punti di intersezione.  

  Per B si conduce una retta che taglia le due circonferenze in  e in  rispettivamente.

  Dimostrare che gli angoli  e  sono uguali fra loro.

27)    ð Due circonferenze sono tangenti esternamente in A,

             e una retta tangente comune t tocca

             la prima circonferenza in B e la seconda in C.

a)   Dimostra che l’angolo  è retto

b)   Dimostra che, se si prolunga la corda BA fino ad incontrare

                   la seconda circonferenza in D, la congiungente CD

                   è un diametro della seconda circonferenza.

28)  (importante; ESERCIZIO SVOLTO)

Per ogni TRIANGOLO, esiste sempre la circonferenza INSCRITTA.

Il suo centro coincide col punto di incontro delle BISETTRICI, ossia con l’ INCENTRO.

Sia ABC un triangolo qualsiasi.

Tracciamo le bisettrici dei tre angoli interni:

esse, come sappiamo, si incontreranno in uno stesso punto

(l’incentro, indicato in figura con I).

E’ noto che ogni punto della bisettrice di un angolo è equidistante

dai lati dell’angolo stesso: quindi si avrà .

Perciò, se si punta il compasso in I con raggio ,

la circonferenza tracciata passerà per i 3 punti H, K, S,

che appartengono ai lati del triangolo e in corrispondenza dei quali

tali lati, formando angoli retti col raggio, risulteranno tangenti alla circonferenza stessa. Il triangolo ABC

sarà perciò circoscritto alla circonferenza tracciata, e questa sarà a sua volta inscritta nel triangolo dato.

29)  (importante; ESERCIZIO SVOLTO)

Per ogni TRIANGOLO, esiste sempre la circonferenza CIRCOSCRITTA.

Il suo centro coincide col punto di incontro degli ASSI dei lati, ossia col CIRCOCENTRO.

Che per tre punti distinti e non allineati passi una (e una sola)

circonferenza ci è già noto. Qui è però anche richiesto di dimostrare

che il centro di tale circonferenza coincide col circocentro del triangolo.

Sia ABC un triangolo qualsiasi. Tracciamo gli assi dei tre lati:

essi, come sappiamo, si incontreranno in uno stesso punto

(il circocentro, indicato in figura con J).

E’ noto che ogni punto dell’asse di un segmento è equidistante

dagli estremi del segmento stesso: quindi si avrà .

Perciò, se si punta il compasso in J con raggio ,

la circonferenza tracciata passerà per i 3 punti A, B, C

e sarà dunque la circonferenza circoscritta in questione.

Le parole “INcentro” e “CIRCOcentro”, usate per indicare risp.

il punto di incontro delle bisettrici e degli assi dei lati in un triangolo,

sono dovute proprio al fatto che tali punti notevoli coincidono

col centro della circonferenza INscritta e CIRCOscritta.

Altri esercizi (TEOREMI MOLTO IMPORTANTI, DA TENERE A MEMORIA!)

30)  ð Un trapezio inscritto in una circonferenza è sempre isoscele (figura)

31)  ð In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti supera l’ipotenusa

              di un segmento uguale al diametro della circonferenza inscritta nel triangolo (figura)

32)  ð Se un trapezio è circoscritto ad una SEMIcirconferenza (cioè, se la sua base maggiore

              sta sulla retta del diametro, e lati obliqui e base minore sono tangenti alla semicirconferenza),

              allora la base maggiore è uguale alla somma dei due lati obliqui (figura)

             COROLLARIO: In un trapezio ISOSCELE circoscritto ad una SEMIcirconferenza

                                           la base maggiore è il doppio del lato obliquo

                                           ( = il lato obliquo è metà della base maggiore). Vedi figura.

33) In ogni triangolo, oltre alle circonf.

       inscritta e circoscritta, esistono anche

       le tre circonferenze “ex-inscritte”,

       ciascuna tangente a un lato e ai   

       prolungamenti degli altri due lati.

       Dove stanno i loro centri?  ð

Guarda

questa

bella

figura

dinamica!!!

ð