ESEMPI NUMERICI, ESERCIZI SUI TEOREMI DI EUCLIDE E DI PITAGORA
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a) In un triangolo rettangolo PQR, di ipotenusa QR, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 9 cm e 16 cm. Determinare perimetro e area del triangolo.
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Il fatto che siano note le misure delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa
ci fa venire in mente il 2° Teorema di Euclide, del quale sono “protagoniste”
tali due proiezioni, insieme con l’altezza relativa all’ipotenusa. Dunque
e da qui ricaviamo
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Ora possiamo ricavare il cateto PQ:
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NOTA 1 Ovviamente, davanti alla radice non mettiamo il doppio segno perché il valore negativo non avrebbe senso in questo contesto.
NOTA 2 Anche:
NOTA 3 L’unità di misura, a stretto rigore, andrebbe scritta ad ogni passaggio della catena; noi, per brevità, la mettiamo solo nel passaggio finale.
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♪ applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHQ:
da cui
E possiamo ricavare il cateto PR:
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♫ oppure applicando il 1° Teorema di Euclide al triangolo rettangolo PQR:
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♪ applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHR:
da cui
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♫ oppure applicando il 1° Teorema di Euclide al triangolo rettangolo PQR:
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oppure
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b) In un triangolo rettangolo i cui lati misurano 5, 12 e 13, quali sono le misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa? E dell’altezza relativa all’ipotenusa?
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In alternativa (con calcoli, però, più pesanti) si sarebbe potuta calcolare immediatamente l’altezza relativa all’ipotenusa mediante la formula |
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per poi ricavare le proiezioni con Pitagora:
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c) In un triangolo rettangolo, un cateto misura metri 9, e l’altro cateto è inferiore di 1 metro all’ipotenusa. Determina tutti i lati del triangolo. |
d) In un triangolo rettangolo, i cateti sono uno i e il perimetro misura 36a. Determinare l’area.
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In questo problema, Pitagora è stato utilizzato per impostare l’equazione risolvente.
INUTILE, IN CASI SIMILI, SCOMODARE formule inverse o RADICI QUADRATE: quando si desidera scrivere un’uguaglianza contenente x che serva da equazione risolvente, basta a tale scopo la relazione pitagorica “originaria”.
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In questo problema, dunque, il teorema di Pitagora è stato impiegato per esprimere un segmento in funzione di x. |
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