Similitudini

TEOREMA (3° Criterio di Similitudine):

Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente proporzionali, allora sono simili.

TH simile con

OSSERVAZIONE

Quindi, considerate le due condizioni

che nei poligoni definiscono la similitudine:

1) uguaglianza degli angoli corrispondenti

2) proporzionalità dei lati

q il Terzo Criterio ci dice che,

NEI TRIANGOLI, è sufficiente la SECONDA,

q mentre il Primo Criterio ci diceva che,

sempre NEI TRIANGOLI,

è sufficiente la PRIMA.

Dimostrazione

Prendiamo sulla semiretta il segmento , e sulla semiretta il segmento .

Essendo

si avrà anche

I due triangoli ABC, APQ sono perciò simili per il 2° Criterio di Similitudine; quindi sarà pure

(1)

D’altra parte, essendo, per ipotesi, e, per costruzione, , si ha altresì

(2)

Confrontando le due proporzioni (1) e (2), per l’unicità della quarta proporzionale si trae

Allora i due triangoli APQ, sono uguali per il 3° Criterio di uguaglianza dei triangoli,

ed essendo ABC simile ad APQ, sarà pure ABC simile ad , come volevasi dimostrare.

TEOREMA

In due triangoli simili, le basi stanno fra loro come le rispettive altezze

IPOTESI

ABC simile con

TESI

Dimostrazione

Dalla similitudine di ABC e

segue

Inoltre, poiché per ipotesi si ha ,

anche i due triangoli rettangoli ACH e

sono simili, da cui

Confrontando le due proporzioni, segue subito la tesi.

OSSERVAZIONE

Perciò, se due triangoli sono simili,

qualora, ad esempio,

ogni lato del primo

sia i 2/3 del lato

che gli corrisponde nel secondo,

anche ogni altezza del primo

sarà i 2/3 dell’altezza

che gli corrisponde nel secondo.

Insomma, il “rapporto di similitudine”

( = rapporto fra due qualsiasi lati corrispondenti)

finisce per essere anche il rapporto

fra due qualsiasi altezze corrispondenti.

TEOREMA. In due triangoli simili, i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi
		IPOTESI ABC simile con TESI
Dimostrazione Semplicissima. Poiché, per ipotesi, ABC e sono simili, si avrà . Applicando a questa catena di rapporti uguali la proprietà del comporre gli antecedenti e i conseguenti (NOTA), si otterrà , cioè la tesi. NOTA. Questa proprietà afferma: “data una catena di rapporti uguali, la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma di tutti i conseguenti come ciascun antecedente sta al proprio conseguente”. Ad esempio, da ricaviamo Applicazione: trovare 3 numeri sapendo che la loro somma è 90 e che sono proporzionali ai numeri 4, 11, 3 (o, come anche si dice, “stanno fra loro come 4:11:3”) TEOREMA In due triangoli simili, le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi (NOTA)
Dimostrazione Poiché, come già dimostrato, in due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze, si avrà da cui	IPOTESI ABC simile con TESI
			NOTA Quindi, se nel passaggio da un triangolo ad un altro simile il lato, ad esempio, raddoppia, allora l’area diventa il quadruplo!
			Osserva d’altronde la figura …
			Se poi il lato triplica, l’area diventa 9 volte, ecc. Questo vale, più in generale, per tutti i poligoni, anzi per tutte le figure piane sottoposte a dilatazione o contrazione. Nello spazio tridimensionale, avviene qualcosa del genere … però … In due figure solide simili, i volumi stanno fra loro come i CUBI di due lati omologhi. Se un solido subisce, ad es., una dilatazione in modo che ogni misura lineare raddoppi, il suo volume diventerà 8 volte tanto.
OSSERVAZIONE RIASSUNTIVA Nel passaggio da un triangolo a un altro simile, ogni lato raddoppia ? Allora · anche IL PERIMETRO raddoppierà, · ciascuna ALTEZZA raddoppierà, · \l’AREA diventerà il quadruplo.				Il cubo di lato doppio richiede 8 cubetti piccoli per essere riempito. Quindi il suo volume è 8 volte il volume del cubetto piccolo.