Similitudini

9.3 - APPLICAZIONI DELLE SIMILITUDINI

TEOREMA DELLA BISETTRICE

La bisettrice di un angolo di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati

IPOTESI

TESI

Dimostrazione

Da C tracciamo la parallela alla bisettrice AD,

e sia E il punto di intersezione

fra tale parallela e la retta del lato AB.

Osserviamo che il triangolo ACE è isoscele (AE = AC).

Infatti, gli angoli sono uguali perché:

Ora, per B tracciamo una terza parallela ad AD e CE.

Per il Teorema di Talete avremo:

e quindi, essendo AE = AC,

, c.v.d.

TEOREMA DELLE DUE CORDE

Se due corde di una circonferenza si tagliano,

le due parti dell'una formano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione

IPOTESI

Le due corde AB, CD si tagliano in P

TESI

(o qualunque altra proporzione che abbia

PA, PB come estremi e PC, PD come medi,

o viceversa)

Dimostrazione

Tracciamo AD e BC.

I due triangoli APD, CPB sono simili perché:

Sussiste dunque la proporzione

dalla quale, applicando la proprietà del permutare ai medi e agli estremi, e la proprietà dell’invertire,

si possono ricavare tutte quelle proporzioni, caratterizzate dal fatto di avere

PA, PB come estremi e PC, PD come medi, o viceversa.

NOTA - Questo Teorema può anche essere enunciato nel seguente modo equivalente:

"Se due corde di una circonferenza si tagliano,

il prodotto delle due parti dell’una

è uguale al prodotto delle due parti dell’altra "

TEOREMA DELLE DUE SECANTI Condotte da un punto esterno ad una circonferenza due secanti, un'intera secante (NOTA) e la sua parte esterna formano i medi e l'altra intera secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione. NOTA - Per “secante” intendiamo qui quel “pezzo” della retta secante, compreso fra il punto esterno considerato e l'intersezione con la circonferenza, più lontana da questo.
IPOTESI PA, PC secanti TESI (o qualunque altra proporzione che abbia PA, PB come estremi e PC, PD come medi, o viceversa) Dimostrazione Tracciamo AD e BC. I due triangoli APD, CPB sono simili per avere: Sussiste dunque la proporzione , dalla quale, applicando la proprietà del permutare ai medi e agli estremi, e la proprietà dell’invertire, si possono ricavare tutte quelle proporzioni, caratterizzate dal fatto di avere PA, PB come estremi e PC, PD come medi, o viceversa
NOTA - Enunciato equivalente: "Condotte da un punto esterno ad una circonferenza due secanti, il prodotto di un'intera secante per la sua parte esterna è uguale al prodotto dell'altra secante per la sua parte esterna" ” TEOREMA DELLA TANGENTE E DELLA SECANTE Condotte da un punto esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, la tangente (NOTA) è media proporzionale fra l'intera secante e la sua parte esterna.
NOTA - Per "tangente" si intende qui il segmento di tangente, compreso fra il punto esterno considerato e il punto di contatto con la circonferenza. IPOTESI PA secante, PT tangente TESI Dimostrazione Tracciamo AT, BT. Dico che i due triangoli APT, BPT sono simili. Essi infatti hanno, innanzitutto, l'angolo in comune; per dimostrare un'altra uguaglianza fra angoli bisogna questa volta ricordare che esistono anche gli "angoli alla circonferenza di specie" (quelli che hanno un lato secante e l'altro tangente).
è, appunto, un angolo alla circonferenza di specie, che insiste sull'arco , ed è perciò uguale a , angolo alla circonferenza di specie che insiste sullo stesso arco. Dimostrata così la similitudine fra APT e BPT, si ha subito la tesi: , c.v.d. NOTA - Enunciato equivalente: "Condotte da un punto esterno ad una circonferenza una tangente e una secante, il quadrato del segmento di tangente è uguale al prodotto dell'intera secante per la sua parte esterna "

Questa bella figura dinamica GEOGEBRA mostra bene il legame di “continuità” fra gli ultimi 3 teoremi ð