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q PROBLEMI GEOMETRICI + GRAFICI DI FUNZIONI |
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ESERCITAZIONE 1 (la correzione completa è a pag. 225)
In un triangolo ABC,
rettangolo in A, con è inscritto un rettangolo ADEF (con D su AB, E su BC, F su AC).
Poniamo
a)
Come degenera la
figura per Disegna la figura degenere. Che valore attribuiremo al perimetro di questo rettangolo degenere?
b)
Stesse domande per
c) Secondo te, se facciamo variare x da 0 fino a 1 il perimetro di ADEF aumenta oppure diminuisce?
d) In base alle considerazioni svolte al precedente punto c), sei in grado di stabilire quali sono il valore minimo e il valore massimo che il perimetro di ADEF può assumere? |
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e)
Esprimi il perimetro di ADEF in funzione di x.
(Risposta:
f)
Fai un grafico
della funzione L’osservazione del grafico va d’accordo con la risposta data al punto d)?
g)
Per quale
valore di x il perimetro di ADEF
misura cm 3?
(Risposta:
h) Risolvi graficamente l’equazione
i) Per quale valore di x il rettangolo ADEF è un quadrato? j)
Esprimi in
funzione di x la diagonale del
rettangolo ADEF (Risposta:
k)
Per quale
valore di x tale diagonale misura 1
cm? (Risposta:
l) Come potresti stabilire per quale valore di x la diagonale è minima e per quale è massima?
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ESERCITAZIONE 2(le altre risposte sono a pag. 227)
Riprendiamo la stessa situazione geometrica dell’Esercitazione 1: triangolo
rettangolo ABC con Questa volta punteremo la nostra attenzione sull’area anziché sul perimetro.
a) Che valore attribuiremo all’area del rettangolo
degenere che si ottiene per
b) Stessa domanda per
c) Se facciamo variare x da 0 fino a 1, l’area di ADEF che variazione subisce?
d) E’ possibile stabilire quali sono i valori minimo e massimo che l’area di ADEF può assumere?
e) Esprimi l’area di ADEF in funzione di x. (Risposta:
f)
Fai un grafico
di L’osservazione del grafico conferma la tua risposta al punto d)?
g)
Se ti chiedo
per quali valori di x l’area vale tu, pensando al problema geometrico, quanti valori ti aspetti? L’osservazione del grafico conferma la tua risposta? h) Risolvi algebricamente l’equazione i)
Se ti chiedo
per quali valori di x l’area vale
j) Conferma algebricamente la risposta al punto precedente,
risolvendo l’equazione di 2° grado
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ESERCITAZIONE 3 (le altre risposte sono a pag. 227) |
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Disegna un rettangolo CDEF inscritto in una semicirconferenza di centro 0 e diametro AB = 2r.
Indica
la semibase
a) Esprimi il perimetro del rettangolo in funzione di x, con due metodi: |
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· tracciando OF e applicando Pitagora; · tracciando FA, FB e applicando Euclide |
(Risposta: |
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b)
Per quali valori di x il perimetro del rettangolo misura
4r? (Risposta : c)
Per quali valori di x il perimetro del rettangolo misura
3r? (Risposta : d)
Come degenera la
figura se e quanto misura, in questo caso, il perimetro del "rettangolo degenere" ?
e)
Come degenera la
figura se e quanto misura, in questo caso, il perimetro del "rettangolo degenere" ?
f) Qual è il valore di x per cui si ottiene il rettangolo di perimetro minimo? Quanto misura tale perimetro minimo?
g) Qual è il valore di x per cui si ottiene il rettangolo di perimetro massimo? Puoi rispondere a questa domanda
tracciando, al computer, il grafico della funzione (poni Quanto misura tale perimetro massimo?
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ESERCITAZIONE 4 (le altre risposte sono a pag. 227)
Come nella precedente Esercitazione 3, si considera un rettangolo CDEF inscritto in una semicirconferenza di centro 0 e diametro
Si
indica la semibase
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a) Esprimi l'area
del rettangolo in funzione di x. (Risposta:
b)
Per quali valori di x l'area del rettangolo misura c) Per quali valori
di x l'area del rettangolo misura
d)
Come degenera la
figura se
e)
Come degenera la
figura se
f) Qual è il valore di x per cui si ottiene il rettangolo di area minima? Quanto misura tale area minima?
g) Qual è il valore di x per cui si ottiene il rettangolo di area massima? Puoi rispondere a questa domanda
tracciando, al computer, il grafico della funzione (poni Quanto misura tale area massima?
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ESERCITAZIONE 5 (le altre risposte sono a pag. 227)
Un trapezio si dice "circoscritto ad una semicirconferenza" se:
♪ la sua base maggiore sta sulla retta del diametro;
♫ lati obliqui e base minore sono tangenti alla semicirconferenza (vedi figura).
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a) Dimostra il TEOREMA: in un trapezio circoscritto ad una semicirconferenza, la base maggiore è uguale alla somma dei due lati obliqui.
(Indicazione: congiungi il centro con gli estremi della base minore e dimostra che due certi triangoli così ottenuti sono isosceli).
b) A partire dal teorema precedente, giustifica il
COROLLARIO: in un trapezio ISOSCELE circoscritto ad una semicirconferenza, il lato obliquo è metà della base maggiore.
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Considera ora un trapezio ISOSCELE CDEF, di base maggiore CD, circoscritto ad una semicirconferenza di diametro noto
c) Esprimi il perimetro 2p di CDEF in funzione della lunghezza x della semibase maggiore OD. Risposta:
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d)
Determina la lunghezza
x della semibase maggiore in modo
che il perimetro del trapezio misuri Risposta: e) Esiste, fra tutti gli infiniti trapezi isosceli circoscrivibili ad una semicirconferenza di raggio r, un trapezio di perimetro massimo?
f) … e un trapezio di perimetro minimo?
g)
Posto
traccia al computer il grafico della
funzione L'osservazione del grafico ti consentirà di verificare se le tue risposte ai quesiti e, f sono corrette.
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ESERCITAZIONE 6 (le altre risposte sono a pag. 227)
a) Considera, come nell’Esercitazione 5, un trapezio isoscele
CDEF circoscritto ad una semicirconferenza di diametro noto ed esprimine l'area S in funzione della lunghezza x della semibase maggiore. Risposta: b)
Determina x in modo che l'area del trapezio
misuri
c) Esiste, fra tutti gli infiniti trapezi isosceli circoscrivibili ad una semicirconferenza di raggio r, un trapezio di area massima?
d) ... e un trapezio di area minima?
e)
Posto
traccia al computer il grafico della
funzione
Verifica la correttezza delle risposte date ai precedenti punti c, d.
Il trapezio di area minima è lo stesso trapezio che (esercitazione precedente) aveva perimetro minimo?
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ESERCITAZIONE 1
In un triangolo ABC, rettangolo in A, con è inscritto un rettangolo ADEF (con D su AB, E su BC, F su AC).
Poniamo
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a)
Come
degenera la figura per Disegna la figura degenere. Che valore attribuiremo al perimetro di questo rettangolo degenere?
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b) Stesse domande per |
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Per il rettangolo si riduce ad una coppia di segmenti sovrapposti.
In questo caso “degenere”, in cui e il perimetro del rettangolo vale
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Anche per il rettangolo si riduce ad una coppia di segmenti sovrapposti.
In questo caso “degenere”, in cui e il perimetro del rettangolo vale
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c) Se facciamo variare x da 0 fino a 1, il perimetro di ADEF aumenta oppure diminuisce?
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Sembra diminuire sempre … Ce ne convinciamo con sicurezza se osserviamo che ad ogni nuovo “fotogramma” della sequenza, le due altezze diminuiscono PIU’ di quanto nel frattempo le due basi aumentino.
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Ma nel passaggio da
di ciascuna delle due altezze
di ciascuna delle due basi |
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d) In base alle considerazioni svolte al precedente punto c), sei in grado di stabilire quali sono il valore minimo e il valore massimo che il perimetro di ADEF può assumere?
Se il perimetro del rettangolo diminuisce sempre, al variare di x da 0 a 1, allora Il valore
massimo del perimetro si ha con
e) Esprimi il perimetro di ADEF in funzione di x.
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quindi, così come sarà anche
Perciò
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f)
Fai un
grafico della funzione L’osservazione del grafico va d’accordo con la risposta data al punto d)?
Tracciamo
il grafico della funzione la
quale, limitatamente all’intervallo esprime il perimetro del rettangolo ADEF.
Si
tratta di una funzione “lineare” ( = di 1° grado) con
coefficiente angolare
Il grafico è coerente con le nostre precedenti risposte: al variare di x da 0 a 1, la y corrispondente (che fornisce il valore del perimetro) diminuisce sempre, passando
dal valore massimo al
valore minimo
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g) Per quale valore di x il perimetro di ADEF misura cm 3?
Basta porre
h) Risolvi graficamente l’equazione 2p(x)=3
Il 2° membro è la funzione costante il cui grafico è una retta parallela all’asse x. |
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i) Per quale valore di x il rettangolo ADEF è un quadrato?
Possiamo impostare l’equazione
otteniamo
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In alternativa, si poteva porre
da cui
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j) Esprimi in funzione di x la diagonale del rettangolo ADEF
k) Per quale valore di x tale diagonale misura 1 cm?
l) Come potresti stabilire per quale valore di x la diagonale è minima e per quale è massima?
Si può tracciare al computer (vedi figura qui a destra) il grafico della funzione e osservare questo grafico, oppure, se il software lo consente, servirsi del comando per la ricerca degli “estremi” (massimi o minimi).
D’altronde,
si capisce che il radicale il
suo valore minimo quando è minimo il suo radicando E
qual è l’ascissa del vertice della parabola
Si può procedere anche per pura via geometrica.
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♪ Si capisce che la diagonale è minima nella situazione in cui il punto E (che sta su BC) ha la minima distanza dal punto A, ossia quando la diagonale AE coincide con l’altezza relativa all’ipotenusa! Se calcoli tale altezza vedrai che
vale e che il valore corrispondente di x è in pieno accordo col grafico.
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♫ Allo stesso modo, è evidente che il punto del segmento BC con la massima distanza da A è l’estremo C, per il quale la distanza da A (=diag.
del rettangolo “degenere”) vale 2, e che corrisponde al valore
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2) a) d)
si vedrà che
3)
d)
4)
d)
5) e) no, dando a x valori molto alti il perimetro assume valori alti a piacere
f) sì, è quello che si ottiene per
6)
c) no d) sì e) no, non è lo stesso. L’area minima si
ha per |
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