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q PROBLEMI GEOMETRICI DI SECONDO GRADO |
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1) ð Determinare base e altezza di un rettangolo di area
sapendo che la somma dell’altezza col triplo della base dà 27 cm.
2) ð In un triangolo isoscele ABC, di base AB, il perimetro misura 16 cm, e la somma dei quadrati costruiti sui
tre lati misura
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3) Un quadrato ABCD ha il lato che misura 2a. All’interno dei lati del quadrato, procedendo sempre nello stesso senso (ad es., in senso antiorario) prendi quattro segmenti: Quanto deve misurare il segmento AE affinché
l’area del quadrilatero irregolare EFGH misuri
4) Da un foglio rettangolare lungo cm 12 e largo cm 9, si ritaglia, lungo ciascuno dei 4 lati, una striscia di larghezza x. Quanto deve valere x se si vuole che l’area del rettangolo ottenuto dopo il ritaglio
sia di
5) ð Nel trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 10 cm e la base minore CD 16 cm. La somma dell’altezza con la base maggiore vale cm 30. Determinare l’area del trapezio. (In questo problema si può applicare il teorema di Pitagora per impostare l’equazione risolvente)
6) Determinare il lato obliquo AC = BC di un triangolo isoscele ABC di perimetro 36 cm, in modo che (vedi pag. 200 per un esempio di problema di questo
tipo) si abbia:
7) Sul diametro AB = 10 cm di una semicirconferenza, determinare un punto P in modo che, tracciata da P la perpendicolare ad AB fino ad incontrare la semicirconferenza in Q, il quadrato costruito sul segmento PQ abbia
l’area di
8) In un trapezio rettangolo in cui base maggiore e altezza misurano entrambe cm 4, la somma dei quadrati dei quattro lati vale
9) In un triangolo isoscele il lato supera l’altezza relativa alla base di 8 cm, e a sua volta la base supera il lato di 11 cm. Trovare le misure della base e del lato obliquo.
10)
In un trapezio di area Determinare le due basi, sapendo che la loro differenza è di 8 cm.
11) Un rettangolo ABCD ha la base AB lunga 14 cm, mentre l’altezza AD misura 8 cm. Si chiede di determinare, sulla retta AB, un
punto P in modo che si abbia:
12) In un trapezio isoscele ABCD, con la base maggiore AB doppia dell’altezza, la base minore misura 2a, e la somma dei quadrati dei quattro lati
vale
13) Internamente ad un segmento AB = 10k, determinare un punto P (con AP < PB) tale che, costruendo su AP e su PB rispettivamente il quadrato APCD e il quadrato PBEF (entrambi dalla stessa parte rispetto ad
AB), l’area del pentagono irregolare ABEFD misuri
14)
La somma dei cateti di un triangolo
rettangolo misura 27b, e l’area
15) Dividere un segmento di lunghezza 12a in due parti tali che la somma dei quadrati costruiti su
ciascuna di esse sia
16) In un trapezio circoscrivibile ad una circonferenza i lati obliqui misurano rispettivamente 9 e 11 cm. Determinare le basi sapendo che la somma del quadrato di una di esse col triplo del quadrato dell’altra vale
17) Risolvere il
problema precedente sostituendo al posto del dato “
18) Determinare il perimetro di un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa 20a, nel quale l’altezza CH relativa all’ipotenusa supera di 4a il segmento AH.
19) E’ data una semicirconferenza di diametro AB = 2r. Si vuole determinare, su AB, un punto P in modo che, alzata da P la perpendicolare al diametro fino ad incontrare la semicirconferenza in C, valga la relazione
(Indicazione: congiungere C con le estremità del diametro; essendo il triangolo ABC rettangolo in C perché …, si potranno applicare i teoremi di Euclide) |
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20) Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di diametro 2r. Determinarne la base minore, sapendo che la
somma dei quadrati dei quattro lati misura
21) Un trapezio isoscele è circoscritto ad una semicirconferenza di diametro 2r. Determinarne la base minore, sapendo che questa è uguale alla quinta parte della base maggiore.
22) Un trapezio isoscele è inscritto in una circonferenza di diametro 2r. Determinarne le basi sapendo che esse hanno distanze dal centro una doppia dell’altra, e che la differenza dei loro quadrati misura 4/3 r2.
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SOLUZIONI
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1) base = 4 cm e altezza = 15 cm oppure base = 5 cm e altezza = 12 cm
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2) lato obliquo = 5 cm, base = 6 cm, area = 12 cm2, oppure lato obliquo = cm
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3) a/3 oppure a/2 4) 1,5 cm (si trova anche un’altra soluzione, x = 9, evidentemente non accettabile)
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5) area = 152 cm2 (base maggiore = cm 22, altezza = cm 8), oppure area = 120 cm2 (base maggiore = cm 24, altezza = cm 6)
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6) AC = 13 cm oppure AC = 15,8 cm 7) AP = 2 cm oppure AP = 8 cm 8) Può misurare 1 cm oppure 3 cm
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9) Porre altezza = x; altezza = 5 cm, base = 24 cm, lato obliquo = 13 cm, oppure: altezza = 21 cm, base = 40 cm, lato obliquo = 29 cm
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10) Posto x = altezza, si trova:
oppure
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11)
Posto AP = x , si
trova: In questo caso anche la soluzione negativa è accettabile: corrisponde ad una situazione in cui il punto P si trova, non sul segmento AB, ma sul suo prolungamento dalla parte di A. Il testo del problema richiedeva che il punto P si trovasse sulla RETTA AB, non sul SEGMENTO AB. Se il testo avesse invece parlato del SEGMENTO AB, la soluz. negativa non sarebbe stata accettabile.
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12) Posto x = altezza, si trova
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13) Posto AP = x, si trova x = 3k (l’altra soluzione x = 12k non è accettabile, perché P andrebbe a cadere fuori dal segmento AB, mentre il testo dice che deve cadere all’interno).
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14) Indicata con x la misura incognita di uno dei cateti, si trova x = 6b (e quindi: altro cateto = 21b) oppure x = 21b (e quindi: altro cateto = 6b) Perciò, in questo caso, sebbene l’equazione risolvente abbia due soluzioni distinte, in pratica esiste un solo triangolo che risolve il problema: quello i cui cateti misurano 6b e 21b.
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15) Le due parti misurano: una 4a e l’altra 8a.
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16)
Si trova un’equazione
risolvente con (se si preferisce: una sola soluzione). Le basi misurano 15 cm e 5 cm.
17) L’equazione risolvente ammette due soluzioni distinte, da cui si traggono come valori per le basi in quanto
l’altra coppia
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18) oppure |
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19)
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