q      PROBLEMI GEOMETRICI CON EQUAZIONE RISOLVENTE IRRAZIONALE

1)      Un rettangolo è inscritto in una semicirconferenza di raggio 1.

a)      Esprimi l’area del rettangolo in funzione della lunghezza x della semibase

b)      Determina x in modo che l’area del rettangolo stesso valga 1

c)      Esprimi il perimetro del rettangolo in funzione della lunghezza x della semibase

d)      Determina x in modo che il perimetro del rettangolo stesso valga 4

e)      Quanto misura il lato del QUADRATO inscritto nella semicirconferenza?

2)      ð In un triangolo isoscele la somma di base e altezza è 11 cm, e il perimetro è di 18 cm.

Trovare l’area.

3)      Una circonferenza di centro O ha diametro AB = 2r; una seconda circonf. ha come diametro AO.

Si determini sul diametro AO della circonferenza minore un punto P tale che, tracciata per P

la perpendicolare ad AO, sulla quale la circonferenza minore stacca la corda CD

e la maggiore stacca la corda EF, si abbia .

4)      Due circonferenze di ugual raggio (di misura 5a), hanno i centri che distano 14a l’uno dall’altro.

Determina la misura del lato di un quadrato, avente due lati paralleli alla retta dei centri,

due vertici su una delle due circonferenze e due vertici sull’altra.

5)      ð In una semicirconferenza di raggio r, inscrivere un trapezio isoscele di perimetro  

            (soluzione “strana” …)

6)      ð In una semicirconferenza di raggio unitario, inscrivere un trapezio isoscele di area unitaria

            (poni  x = proiezione del lato obliquo sulla base maggiore;

             equazione irrazionale, poi di 4° grado; Ruffini + risoluzione grafica)

q      PROBLEMI GEOMETRICI RISOLUBILI TRAMITE UN SISTEMA DI EQUAZIONI

7)      ð  Determinare i lati di un triangolo rettangolo in cui la somma dei cateti misura  e l’area .

8)      Determinare i lati di un triangolo rettangolo in cui il perimetro misura  e l’ipotenusa .

9)      Determinare i lati di un triangolo rettangolo sapendo che la sua area misura  

mentre l’ipotenusa è lunga .

10)   Determinare i lati di un triangolo rettangolo conoscendo il raggio r del cerchio inscritto (r = 4 cm)

e il raggio R del cerchio circoscritto (R = 10 cm).

11)   ð Determinare i lati di un triangolo rettangolo conoscendone

            il perimetro (60 cm) e l’altezza relativa all’ipotenusa (12 cm).

12)   ð Determinare i lati di un triangolo ABC rettangolo in A sapendo che,

            dette AH e AM l’altezza e la mediana relative all’ipotenusa,

            il perimetro e l’area del triangolo AHM sono rispettivamente di cm 56 e di .

13)   ð Determinare i cateti di un triangolo rettangolo sapendo che

            la sua ipotenusa e la sua altezza relativa all’ipotenusa misurano, rispettivamente,  e .

14)   Determinare le misure dei lati di un triangolo rettangolo la cui area misura  

e nel quale è inscritto un cerchio di raggio 3 cm.

SOLUZIONI

1)    

2)        3)  ;   r (soluz. “degenere”)    4) Lato quadrato = 6a  oppure  8a

5)   L’unica soluz. è il “trapezio degenere” le cui due basi coincidono col diametro, e avente altezza nulla.

6)    

7)         8)          9)           10)   

11)      12)    oppure:   

13)  Le misure dei cateti sono: 2 e 4     14)  9, 12, 15 cm