q PROBLEMI CON LE SIMILITUDINI
A) Problemi in cui la similitudine viene utilizzata semplicemente per fare dei calcoli,senza equazione (NOTA)
NOTA − Un’equazione potrà eventualmente intervenire in altre fasi della risoluzione del problema, ma quando si sfrutterà la similitudine fra due triangoli per scrivere una proporzione, non sarà necessario impiegare un’incognita.
1) ð E’ dato il rettangolo ABCD, in cui la base AB misura 12a e l’altezza AD misura 5a. Sia P un punto, sulla diagonale AC,
tale che ad AC che incontri AB in S, si chiede di determinare il perimetro del triangolo APS.
2) In un triangolo isoscele ABC, nel quale il lato obliquo supera di 3 cm la base AB e la somma dei quadrati dei tre lati
vale una semiretta che formi con la base
AB un angolo uguale all’angolo Trovare il perimetro del triangolo ABD.
3) Quanto misura la distanza del baricentro dal lato obliquo in un triangolo isoscele di base 2b e altezza h?
4) In una semicirconferenza di diametro si conducano due corde uguali Quant’è la distanza di E dal centro O della semicirconferenza?
5) E’ dato il triangolo EFG, rettangolo in E, i cui cateti EF e GE misurano rispettivamente cm 18 e 24. Sull’ipotenusa FG si prenda un punto K, che divida l’ipotenusa stessa in parti proporzionali (vedi NOTA) ai numeri 4 e 11 (KG<KF). Da K si conduca la perpendicolare ad FG fino ad incontrare in T il cateto EG. Trovare l’area del quadrilatero EFKT e la misura del segmento FT.
6) E’ dato un triangolo rettangolo ABC (AB ipotenusa, BC cateto maggiore), tale che Si prolunghi il cateto AC, dalla
parte di C, di un segmento Da C si tracci la parallela ad AB fino ad incontrare in E la congiungente BD. Trovare le misure di CE e di BE.
7) Nel triangolo ABC, inscritto in una
semicirconferenza di diametro AB = 20 cm, è CA = Preso su CA il punto D tale che Quanto misura EF?
8) L’ipotenusa BC di un triangolo rettangolo ABC misura
cm 3,5; il cateto AB è i Un punto P, sul cateto AB, lo divide in due parti che stanno fra loro come 2:5 (AP<PB). Tracciata per P la parallela a BC, che interseca AC in D, trovare il perimetro del triangolo APD.
9) In un trapezio rettangolo ABCD le basi AB e DC misurano rispettivamente 21b e 15b, e l’altezza AD misura 8b. Trovare le misure dei due segmenti in cui la diagonale AC è divisa dalla parallela a BC condotta dal vertice D. |
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SOLUZIONI |
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1) 15/2 a 2)
33,6 cm 3) |
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6)
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B) Problemi in cui la similitudine viene utilizzata per impostare l’equazione risolvente |
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10) In un trapezio le basi misurano 15k e 10k, e i lati obliqui 7k e 9k. Trovare il perimetro del triangolo che ha per lati la base minore e i prolungamenti dei lati obliqui.
11) Dato un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 48 cm e 36 cm, trovare la misura del lato del quadrato inscritto, con due lati sui cateti (e un vertice sull’ipotenusa: vedi figura).
misurano rispettivamente
12) ð Nel triangolo isoscele ABC, di base BC,
l’area è di Dopo aver determinato i lati del triangolo, trovare il raggio della circonferenza “ex-inscritta”, tangente alla base del triangolo e ai prolungamenti dei lati obliqui.
supponendo che le misure di base e lato obliquo siano
13) ð Il lato AB di un triangolo è corda di una circonferenza, e il vertice C è esterno a tale circonferenza (vedi figura). I lati AC e BC intersecano la circonferenza rispettivamente in D e in E. Dopo aver dimostrato che i due triangoli ABC e DEC sono simili, determina x nell’ipotesi che sia
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C) Problemi in cui la similitudine viene utilizzataper esprimere un segmento in funzione di x |
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14) ð In un triangolo isoscele, di base AB = 1 e altezza CH = 2, inscrivere un rettangolo DEFG, con DE su AB, di diagonale unitaria. |
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15) In un triangolo ABC, rettangolo in A, il raggio della semicirconferenza tangente all’ipotenusa, il cui diametro AD si trova sul cateto AB, è i 4/9 di AB. Sapendo inoltre che l’area del triangolo ABC
vale
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16) In un triangolo isoscele, la base è i 5/3 del lato del quadrato inscritto, con un lato sulla base, e il quadrato costruito sull’altezza supera l’area del triangolo di Trovare la misura della base del triangolo e quella del lato del quadrato inscritto.
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n.14 n.15 n.16 |
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SOLUZIONI 10) 42k
11)
14) DE = 3/5 ed EF = 4/5 oppure (caso “degenere) DE = 1 ed EF = 0 15) 12a 16) 10a, 6a
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D) Problemi vari sulle similitudini
17) E’ dato un triangolo rettangolo in cui i cateti misurano 6a, 8a. Trovare la misura del lato del quadrato inscritto, con un lato sull’ipotenusa (e due vertici sui cateti: vedi figura)
supporre che le misure dei cateti siano
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18) In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo isoscele, la cui base BC è uguale all’altezza AH.
I) Trovare la misura di BC = AH
II) Determinare sul segmento AH un punto K in modo che, condotta per K la perpendicolare ad AH, che tagli AB in D, AC in E, e la circonferenza in F (dalla parte di D) e in G (dalla parte di E), sia verificata la relazione
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19) ð I centri O e di raggi r e (con hanno distanza
Una tangente comune x taglia il prolungamento del segmento un’altra tangente comune y taglia
Determinare le misure dei segmenti |
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20) ð In un triangolo isoscele di area è inscritto un quadrato di lato Quanto misura la base del triangolo? |
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22)
Il triangolo ABC ha i lati di 5, 12 e 13 cm. CD è la terza parte di BC, e CE è la terza parte di AC.
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21) Se voglio che l’area di un triangolo raddoppi, per quale numero devo moltiplicare la lunghezza di tutti i lati?
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a) Dimostra che ABC è rettangolo b) Dimostra che DE è parallela ad AB c) Determina la lunghezza di DE d) Dimostra che i due segmenti AD e BE si tagliano reciprocamente in due parti, una tripla dell’altra e) Trova la misura della distanza FG di F da BC |
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SOLUZIONI
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17) |
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19) |
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20) La base del triangolo può misurare 3 cm
oppure 6 cm 21)
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22) a) ABC è
rettangolo (in A) per l’inverso del Teorema di Pitagora, essendo b) 2° Criterio di Similitudine … c) DE = 5/3 d) Anche i due triangoli ABF, DEF sono simili … e)
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