9.2 - SIMILITUDINI

 

q      IL TEOREMA DI TALETE ( = “Grande” Teorema di Talete)

 

 

 

Quando un fascio di rette parallele viene tagliato da due trasversali,

i segmenti staccati dalle parallele sulle trasversali sono proporzionali

 

 

 

 

Vale a dire, con riferimento alla figura:

 

(1)     

o anche, applicando la proprietà del permutare:

 

(2)     

 

Il “Teorema di Talete” è dunque una generalizzazione

dell’enunciato che avevamo chiamato

Piccolo Teorema di Talete” e che affermava:

 

Se un fascio di parallele è tagliato da due trasversali,

a segmenti uguali su una trasversale

corrispondono segmenti uguali sull’altra”.

 

 

I DUE MODI ALTERNATIVI DI “VEDERE” LA PROPORZIONALITA

 

Dicendo “i segmenti staccati dalle parallele sulle trasversali sono proporzionali”, voglio intendere che:

 

     un segmento (sulla  trasversale) sta ad un altro segmento (sempre sulla  trasversale)

come il corrispondente del primo sta al corrispondente del secondo

(vedi proporzione 1)

 

oppure, in modo PERFETTAMENTE EQUIVALENTE:

 

       un segmento (sulla  trasversale) sta al suo corrispondente (sulla  trasversale)

come un altro segmento (sulla  trasversale) sta al suo corrispondente (sulla  trasversale)

(vedi proporzione 2)

 

 

Dimostrazione del Teorema di Talete

 

Quando un fascio di parallele è tagliato da due trasversali t e ,

si stabilisce una corrispondenza biunivoca fra l’insieme S dei segmenti giacenti su t

(S è una classe di grandezze, “sottoclasse” della più generale classe di tutti i segmenti del piano)

e l’insieme  dei segmenti che giacciono su .

E’ noto da un teorema precedente che

“a segmenti uguali su una trasversale, corrispondono segmenti uguali sull’altra”;

ed è evidente che

“a un segmento, su una trasversale, che sia somma di due certi segmenti,

corrisponde quel segmento, sull’altra trasversale, che è la somma dei rispettivi corrispondenti”

(ad es. nella figura, al segmento AC, che è la somma AB+BC, corrisponde il segmento ,

che è proprio la somma di  (corrispondente di AB) con  (corrispondente di BC).

Allora sono verificate le condizioni del “Criterio di Proporzionalità” (cap. 7, pag. 195),

per cui la tesi è dimostrata.

 

 

Due esercizietti sul Teorema di Talete: determina x e y.

   Soluzioni

   

 

 

 

q      POLIGONI SIMILI

 

Due poligoni con lo stesso numero di lati si dicono “simili” se sono uno l’ingrandimento dell’altro.

 

Specifichiamo meglio, cercando di dare una veste matematica precisa a questa idea.

 

Se ti sforzi di disegnare due poligoni, ad esempio due quadrilateri,

in modo che uno di essi appaia come l’ingrandimento dell’altro,

ti renderai conto che dovrai innanzitutto disegnarli

con gli angoli rispettivamente uguali;

… ma ciò non sarà sufficiente:

ci vorrà qualcosa in più, e precisamente dovrai fare in modo che i lati siano in proporzione.

 

 

 

 

I due poligoni della figura sottostante

hanno gli angoli rispettivamente uguali.

Eppure, evidentemente,

NON sono “uno l’ingrandimento dell’altro”…

… Invece i due poligoni di quest’altra figura,

oltre ad avere gli angoli rispettivamente uguali,

hanno pure i lati proporzionali,

perché ciascun lato del primo poligono

è i 2/3 del lato che gli corrisponde

nel secondo poligono.

In questa Figura 2, i due poligoni in gioco appaiono “uno l’ingrandimento dell’altro”.

 

 

Figura 1

 

Figura 2


 

 

Da queste considerazioni discende la seguente

 

 

DEFINIZIONE

 

Due poligoni aventi lo stesso numero di lati si dicono SIMILI se hanno:

I)   gli angoli rispettivamente uguali

II)   e i lati corrispondenti proporzionali

 

 

Dire che “hanno i lati corrispondenti proporzionali” significa dire

che il rapporto fra due lati corrispondenti è lo stesso per ogni coppia di lati corrispondenti.

 

Con riferimento alla Figura 2,

 

.

 

Tale rapporto costante si dice

rapporto di similitudine”.

 

Ad es., in Figura 2, il rapporto di similitudine

dei due quadrilateri ABCD,  

(presi in quest’ordine), è 3/2

(prendendoli invece nell’ordine opposto,

    il rapporto di similitudine sarebbe 2/3)

 

          

 per cui se il rapporto di similitudine è

, il secondo è rimpicciolito rispetto al primo;

, il secondo è ingrandito rispetto al primo.

 

 

q      TRIANGOLI SIMILI

 

Abbiamo visto che due poligoni si dicono simili

se hanno gli angoli rispettivamente uguali e i lati corrispondenti proporzionali.

 

Nel caso dei triangoli, tuttavia, questa definizione si rivela sovrabbondante,

perché si può dimostrare che se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali,

allora hanno SENZ’ALTRO anche i lati corrispondenti proporzionali;

cosa che invece non necessariamente accade per i poligoni con più di tre lati.

 

Questo enunciato prende il nome di “Primo Criterio di Similitudine”.

 

 

 

 

TEOREMA (1° Criterio di Similitudine):

 

Se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali, allora sono simili,

cioè hanno anche i lati corrispondenti proporzionali

 

 

 

IPOTESI

     

 

TESI

 

    ABC è simile con ,

     cioè vale anche la proporzione

     

 

Dimostrazione (per la prima proporzione; per le altre si procede in modo analogo)

 

Prendiamo sulla semiretta AB un segmento , e sulla semiretta AC un segmento .

Il triangolo APQ risulterà uguale al triangolo  per il Primo Criterio di Uguaglianza dei Triangoli

(è infatti  per ipotesi). Pertanto  e quindi le due rette PQ e BC, formando con la

trasversale AB due angoli corrispondenti uguali, sono parallele. Tracciamo ora per A un’altra retta r

parallela a PQ e BC. Per il Teorema di Talete avremo      

e quindi anche, essendo  e ,           

 

     

      Il 1° Criterio di Similitudine è un teorema che si applica con grandissima frequenza negli esercizi.

      Osserviamo fra l’altro che si può subito concludere che due triangoli dati sono simili anche se si sa

      (per ipotesi o per precedente dimostrazione) che hanno DUE angoli rispettivamente uguali,

      perché allora (per differenza rispetto a 180°) saranno certo uguali anche gli angoli rimanenti.

 

 

  PUNTUALIZZAZIONE: DUE MODI ALTERNATIVI DI “VEDERE” LA PROPORZIONALITA

 

 

Quando so che due certi triangoli ABC e  sono simili,

allora posso impostare le proporzioni

 

     ;   ;    

 

Permutando i medi in ciascuna delle tre, esse diventano:

     ;   ;    

 

 

 Quindi se abbiamo due triangoli simili, l’affermazione che “i lati corrispondenti sono proporzionali”

 può essere interpretata indifferentemente in due modi, perfettamente equivalenti fra loro.

 

      Si può interpretare nel senso che il rapporto tra due lati corrispondenti è costante, cioè che

 

“un lato (del 1° triangolo) sta al suo corrispondente,

come un altro lato (del 1° triangolo) sta al suo corrispondente”

 

    … ma si può anche interpretare nel senso che il rapporto di due lati del 1° triangolo

        è uguale al rapporto dei due lati corrispondenti del 2° triangolo (presi nello stesso ordine), cioè che

 

“un lato (del 1° triangolo) sta ad un altro lato (sempre del 1° triangolo)

come il corrispondente del primo sta al corrispondente del secondo”.

 

 

 

 

 

   ♥  ESEMPIO

       DI ESERCIZIO

 

 

 

Nella figura, i due triangoli ABC, ADE sono simili per il 1° Criterio.

Dunque, per determinare AB, imposteremo una qualunque fra le proporzioni che coinvolgono AB insieme con segmenti noti, ad esempio

 

q     (“un lato, del 1° triangolo, sta al suo corrispondente,

                      come un altro lato, del 1° triangolo, sta al suo corrispondente”;

        AB e AE  si corrispondono perché entrambi opposti a un angolo di 60°)

   

q    OPPURE   

     (un lato, del 1° triangolo, sta a un altro lato, sempre del 1° triangolo,

      come il corrispondente del primo sta al corrispondente del secondo”)

 

  In due triangoli simili, sono corrispondenti (“omologhi”)

due lati che stiano opposti ad angoli uguali, o allo stesso angolo

 

Bene; prendiamo una qualsiasi delle proporzioni, ad es.  

e sostituiamo al posto degli elementi noti, AE, BC e DE, la loro misura

(AB fa da “x”, ma è inutile una nuova lettera in questo caso: lasceremo AB).

Avremo così      da cui    

 

 

 

 

COROLLARIO del 1° Criterio di Similitudine:

Una retta parallela ad un lato di un triangolo

stacca da questo un triangolo simile al dato

 

 

Con riferimento alla figura qui a fianco:

basta tener presente che,

quando si hanno due parallele con trasversale,

gli angoli corrispondenti sono uguali …

 

 

TEOREMA (2° Criterio di Similitudine):

Se due triangoli hanno due lati proporzionali e gli angoli compresi uguali, allora sono simili

 

 

 

IPOTESI

     

 

TESI

    ABC simile con  

 

Dimostrazione

Prendiamo sulla semiretta AB il segmento , e sulla semiretta AC il segmento . Ora il

triangolo APQ risulterà uguale ad  per il 1° Crit. di Uguaglianza dei Triangoli (  per ipotesi).

Basterà dunque dimostrare che ABC è simile ad APQ; e a tale scopo, tenendo presente il

Corollario del Primo Criterio di Similitudine, basterà far vedere che PQ è parallela a BC.

Per assurdo. Se PQ  NON  fosse parallela a BC, la parallela a BC condotta da P taglierebbe AC in un punto

 distinto da Q; i due triangoli  risulterebbero simili e si avrebbe

(1)    

D’altra parte, per ipotesi e per la costruzione effettuata, vale pure la proporzione

(2)   .     Ma

 

 

se due proporzioni hanno ordinatamente uguali tre termini,

allora hanno necessariamente uguale anche il termine rimanente

 

(“UNICITA’ DELLA QUARTA PROPORZIONALE”: vedi NOTA)

 

 

Quindi, dal fatto che valgano contemporaneamente le due proporzioni (1) e (2),

si trae , e quindi , contro quanto supposto.

 

 

 NOTA

Se è   e contemporaneamente    allora si ha   ma anche  quindi sarà

  (UNICITA’ DELLA QUARTA PROPORZIONALE, O DEL QUARTO PROPORZIONALE)

 

 

 

 

 

 

 

 

E

S

E

M

P

I

O

 

 

In figura, i due angoli  hanno i lati paralleli e concordi,

quindi sono fra loro uguali.

Inoltre  (i due rapporti valgono entrambi 3/2).

Di conseguenza si può affermare che i due triangoli EDF, JIK

sono simili per il 2° Criterio di Similitudine.

Potremo perciò, per determinare JK, scrivere una qualunque proporzione che coinvolga JK e segmenti noti, ad esempio

  da cui   

(è possibile, se si preferisce, anche scrivere

 ).

 

 

Più rapidamente, osservato che i lati del triangolo grande

sono una volta e mezza quelli del triangolo piccolo,