TEOREMA (3° Criterio di Similitudine):

Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente proporzionali, allora sono simili

 

 

 

HP    

 

TH    simile con  

 

 

OSSERVAZIONE

 

Quindi, considerate le due condizioni

che nei poligoni definiscono la similitudine:

 

1)      uguaglianza degli angoli corrispondenti

2)      proporzionalità dei lati

 

q    il Terzo Criterio ci dice che,

    NEI TRIANGOLI, è sufficiente la SECONDA,

 

q    mentre il Primo Criterio ci diceva che,

     sempre NEI TRIANGOLI,

     è sufficiente la PRIMA.

Dimostrazione

Prendiamo sulla semiretta  il segmento , e sulla semiretta  il segmento .

Essendo

 

si avrà anche

 

I due triangoli ABC, APQ sono perciò simili per il 2° Criterio di Similitudine; quindi sarà pure

(1)   

D’altra parte, essendo, per ipotesi,   e, per costruzione, , si ha altresì

(2)   

Confrontando le due proporzioni (1) e (2), per l’unicità della quarta proporzionale si trae

.

Allora i due triangoli APQ,  sono uguali per il 3° Criterio di uguaglianza dei triangoli,

ed essendo ABC simile ad APQ, sarà pure ABC simile ad , come volevasi dimostrare.

 

 

TEOREMA

In due triangoli simili, le basi stanno fra loro come le rispettive altezze

 

 

 

IPOTESI

    ABC simile con  

     

 

TESI

     

 

Dimostrazione

Dalla similitudine di ABC e  

segue

 

Inoltre, poiché per ipotesi si ha ,

anche i due triangoli rettangoli ACH e  

sono simili, da cui

.

Confrontando le due proporzioni, segue subito la tesi.

 

OSSERVAZIONE

 

Perciò, se due triangoli sono simili,

qualora, ad esempio,

ogni lato del primo

sia i 2/3 del lato che gli corrisponde nel secondo

(con rapporto di similitudine 3/2, quindi),

anche ogni altezza del primo

sarà i 2/3 dell’altezza

che gli corrisponde nel secondo.

 

 

Insomma, il rapporto fra

due qualsiasi lati corrispondenti

finisce per essere anche il rapporto

fra due qualsiasi altezze corrispondenti.

 

 

 

TEOREMA.  In due triangoli simili, i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi

 

IPOTESI

    ABC simile con  

 

TESI

     

Dimostrazione

Semplicissima. Poiché, per ipotesi, ABC e  sono simili, si avrà  .

 

Applicando a questa catena di rapporti uguali

la proprietà del comporre gli antecedenti e i conseguenti (NOTA),  

si otterrà ,  cioè la tesi.

 

NOTA. Questa proprietà afferma:

 

 

data una catena di rapporti uguali,

la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma di tutti i conseguenti

come ciascun antecedente sta al proprio conseguente

 

 

    Ad esempio, da    ricaviamo   

Applicazione: trovare 3 numeri sapendo che la loro somma è 90

e che sono proporzionali ai numeri 4, 11, 3 (o, come anche si dice, “stanno fra loro come 4:11:3”)

 

 

 

 

TEOREMA

In due triangoli simili, le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi (NOTA)

 

 

Dimostrazione

 

Poiché, come già dimostrato,

in due triangoli simili le basi stanno fra loro

come le rispettive altezze, si avrà 

 

da cui

 

 

 

IPOTESI

 

ABC

simile

con

 

 

TESI

 

 

 

 

NOTA

 

Quindi, se nel passaggio da un triangolo

ad un altro simile il lato, ad esempio,

raddoppia, allora l’area diventa il quadruplo!

 

Osserva

d’altronde

la figura …

 

 

Se poi il lato triplica, l’area diventa 9 volte, ecc.

Questo vale, più in generale,

per tutti i poligoni, anzi per tutte le figure piane

sottoposte a dilatazione o contrazione.

 

 

Nello spazio tridimensionale,

avviene qualcosa del genere … però …

 

 

In due figure solide simili,

i volumi stanno fra loro

come i CUBI di due lati omologhi.

 

 

Se un solido subisce, ad es., una dilatazione

in modo che ogni misura lineare raddoppi,

il suo volume diventerà 8 volte tanto.

 

OSSERVAZIONE RIASSUNTIVA

 

Nel passaggio da un triangolo a un altro

simile, ogni lato viene moltiplicato per k?

Allora risulteranno moltiplicati anche

 

·       il PERIMETRO per ,

·       ciascuna ALTEZZA per ,

·       l’AREA invece per il numero .  

 

 

 

 

 

Il cubo di lato doppio

richiede 8 cubetti piccoli

per essere riempito.

Quindi il suo volume

è 8 volte il volume

del cubetto piccolo.