CENNI DI GEOMETRIA SOLIDA

Così come la geometria piana, anche la solida è stata organizzata dai matematici

secondo una struttura “ipotetico-deduttiva”: definizioni, assiomi, teoremi.

Noi qui ci proponiamo di darne una presentazione snella, che attiri l’attenzione sugli aspetti accattivanti

di questo splendido argomento, quindi cercheremo un compromesso fra il rigore e la semplicità/brevità,

rinunciando deliberatamente a un’esposizione esaustiva, troppo ingombrante per i nostri scopi.

Iniziamo.

1.  NOZIONI GENERALI

Un “piano” è un’entità geometrica indicata con una lettera greca

e caratterizzata da una famiglia di assiomi: eccone qui di seguito due.

Assioma: per 3 punti distinti, non allineati, passa un piano e uno solo

                (conseguenza: due rette incidenti individuano uno e un solo piano).

Per questo motivo, un piano si può indicare anche tramite

una terna di suoi punti non allineati: piano  o piano ABC.

Assioma: se due punti di una retta giacciono su di un piano,

                anche tutti gli altri punti della retta appartengono a quel piano

Quindi il piano è illimitato in tutte le direzioni: i nostri disegni, per cercare

di comunicare l’idea di tridimensionalità nell’ambito bidimensionale del foglio,

devono occultare questa caratteristica, che comunque va sempre tenuta presente.

Piani paralleli: non hanno nessun punto in comune,

                          oppure coincidono

Piani incidenti: non sono paralleli; si può dimostrare

      che l’insieme dei loro punti comuni è una retta.

Rette sghembe nello spazio: non appartengono al medesimo piano, e non hanno punti comuni.

Rette parallele nello spazio: appartengono al medesimo piano,

                                                e non hanno punti comuni,

                                                oppure ne hanno infiniti (coincidono).

Definizione di perpendicolarità retta-piano:

una retta si dice perpendicolare ad un piano se e solo se

è perpendicolare a tutte le rette di quel piano,

passanti per il punto in cui la retta e il piano si tagliano

(ciò avviene senz’altro, come si può dimostrare,

 ogniqualvolta sia noto che il piano

 è perpendicolare ad almeno due di quelle rette).

(NOTA: quando pensiamo, ad esempio, alla perpendicolarità

 fra la retta a e la retta r della figura, la pensiamo nell’ambito

 di quel piano che è individuato dalle due rette in questione a, r)

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI

(è sovente utilizzato per giustificare una perpendicolarità

in un contesto tridimensionale):

se si conduce una perpendicolare a ad un piano,

e dal piede Q di questa si traccia la perpendicolare b

ad una terza retta c che giace sul piano,

l'ultima retta menzionata (c) risulta perpendicolare

al piano individuato dalle prime due (  )

Il Teorema delle Tre Perpendicolari

Dimostrazione del Teorema

Sulla retta c, da parti opposte rispetto a R,

prendiamo due punti S ed , equidistanti da R: .

Congiungiamo sia Q che P con S e con .

E’  perché i due triangoli  sono uguali

per il 1° Criterio; ma allora anche i due triangoli  

sono uguali per il 1° Criterio, e di conseguenza è .

Il triangolo  è dunque isoscele, e pertanto PR,

mediana relativa alla base, fa anche da altezza: è perciò

e allora la retta c è perpendicolare nel punto R alla retta PR;

ma la retta c era già, nello stesso punto R,

appendicolare anche alla retta b; e quindi c, essendo

perpendicolare, nel punto R, a due rette del piano PQR,

è perpendicolare a tale piano, come volevasi dimostrare.

Un angolo fra due piani,

o “angolo diedro”,

o semplicemente “DIEDRO”

(immagine opera di Luca Antonelli,

da Wikimedia Commons, qui utilizzata con licenza

GFDL, GNU Free Documentation License)

Qui a destra,

una figura

che va pensata estesa

illimitatamente

verso il basso,

detta

 “ANGOLOIDE”.

La somma delle ampiezze

delle facce di un angoloide

(in questo caso

abbiamo 5 facce)

è sempre <360°.

Un “POLIEDRO” è un solido delimitato da facce di forma poligonale.

Un poliedro si dice "regolare" o “platonico” quando le sue facce sono poligoni regolari, tutti uguali fra loro.

Si dimostra che esistono solo 5 tipi di POLIEDRI REGOLARI:

●         il tetraedro regolare,

●         l'esaedro regolare o cubo,

●         l'ottaedro regolare,

●         l'icosaedro regolare,

●         il pentadodecaedro regolare.

Le immagini sottostanti

hanno come autore Cyp

(GFDL , Creative Commons

Attribution Non-Commercial

Share-Alike license version 2.0)

Tetraedro

regolare

(4 facce

triangolari

equilatere,

4 vertici,

6 spigoli)

Cubo

(6 facce

quadrate,

8 vertici,

12 spigoli)

Ottaedro

regolare

(8 facce

triangolari

equilatere,

6 vertici,

12 spigoli)

Icosaedro

regolare

(20 facce

triangolari

equilatere,

12 vertici,

30 spigoli)

Pentadodecaedro

regolare

(12 facce

pentagonali regolari,

20 vertici, 30 spigoli)

Per tutti i poliedri, regolari e non regolari, vale la rilevante

FORMULA DI EULERO:

f+v = s+2

“ il numero delle facce più quello dei vertici è uguale al numero degli spigoli, più 2 ”

Un “PRISMA” è un solido delimitato da

                          due “basi” poligonali uguali e parallele fra loro ( = giacenti su piani fra loro paralleli)

                          e da una superficie laterale costituita da parallelogrammi (da rettangoli, se il prisma è “retto”).

Si dice “altezza” di un prisma, la distanza ( = segmento di perpendicolare) fra i piani delle due basi.

·      Prisma “retto”: gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.

·      Prisma “regolare”: prisma retto, la cui base è un poligono regolare.

·      Parallelepipedo: prisma le cui 6 facce sono parallelogrammi (a 2 a 2 uguali, e giacenti su piani paralleli)

·      Parallelepipedo rettangolo: le facce sono 6 rettangoli (è la tipica forma di una “scatola”).

Un prisma

non retto

e una sua altezza  

Un prisma retto;

ne sono altezze

Qui a fianco,

un prisma regolare

avente per base

un triangolo

equilatero

Un parallelepipedo

rettangolo

Un parallelepipedo generico

Una “PIRAMIDE” è un solido delimitato da una “base” poligonale e da una superficie laterale

                                 formata da triangoli, ottenuti congiungendo un punto V (“vertice”) coi vertici della base.

Si dice “altezza” di una piramide, la distanza fra il vertice e il piano della base.

·     Piramide "retta": la sua base è un poligono circoscrivibile ad una circonferenza,

e inoltre l'altezza della piramide ha il suo piede proprio nel centro di questa circonferenza

·     In una piramide retta, le altezze dei triangoli che formano la superficie laterale sono tutte uguali fra loro:

una qualsiasi di queste altezze uguali si dice “apotema” della piramide.

Ribadiamolo: il concetto di “apotema” di una piramide

                       NON ha senso per una piramide qualsiasi, ma solo per una piramide retta.

·     Piramide “regolare”: è una piramide retta, avente per base un poligono regolare

·     Tronco di piramide: si ottiene intersecando una piramide con un piano parallelo alla base

Una piramide

generica

con la sua

altezza VH

    Una piramide retta;

 VS è uno dei suoi apotemi.

Un tronco di piramide

(è come se fosse la

differenza di due piramidi!)

Delle 5 figure, quella più a destra si riferisce al seguente enunciato: “In una piramide qualsiasi (anche non retta),

detti V il vertice, AB un lato della base, H la proiezione di V sul piano della base, e K la proiezione di H su AB,

si ha che VK è l'altezza del triangolo VAB ”. Dài, che qualcosa di già visto ti consente di dimostrarlo!