4. IL PRINCIPIO DI CAVALIERI E LA SUA APPLICAZIONE

AL CALCOLO DEI VOLUMI DI PRISMI, CILINDRI, PIRAMIDI E CONI

ASSIOMA: il “PRINCIPIO DI CAVALIERI” (Bonaventura Cavalieri, 1598-1647)

“ Se due solidi possono essere disposti in modo tale che, sezionandoli con un fascio di piani paralleli,

ciascun piano individua sui due solidi due sezioni equivalenti ( = con la stessa area),

allora i due solidi sono equivalenti ( = hanno ugual volume) ”

Cavalieri’s principle
[Credits : Encyclopædia Britannica, Inc.]

(immagine opera di Anton,

da Wikimedia Commons,

qui utilizzata con licenza

GFDL, GNU Free Documentation License)

Teorema 1: due prismi, o un prisma e un cilindro, o due cilindri,

aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti.

Dimostrazione: per il Principio di Cavalieri.

Nella dimostrazione dell’enunciato di cui sopra occorre anche tener conto

del fatto (intuitivo, ma comunque dimostrabile) che

le sezioni di un prisma, o di un cilindro, con piani paralleli alle basi, sono tutte uguali (fra loro e con le basi)

CONSEGUENZE: FORMULA PER IL VOLUME DI UN PRISMA O DI UN CILINDRO

Un prisma è dunque, in particolare, equivalente ad un parallelepipedo rettangolo,

avente base equivalente e altezza uguale a quella del prisma.

E anche un cilindro è equivalente ad un parallelepipedo rettangolo,

avente base equivalente e altezza uguale a quella del cilindro.

Quindi per calcolare il volume di un prisma qualsiasi o di un cilindro qualsiasi

la formula da utilizzare è la stessa che abbiamo visto

(paragrafo 3) valere per il parallelepipedo rettangolo, ossia

che nel caso di un cilindro, retto o non retto, a base circolare di raggio r, diventa

Teorema 2: due piramidi, o una piramide e un cono, o due coni,

aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti.

Dimostrazione: per il Principio di Cavalieri.

Nella dimostrazione dell’enunciato di cui sopra occorre anche tener conto del fatto che

date due piramidi, o due coni, o una piramide e un cono, se i due solidi hanno ugual altezza e basi equivalenti,

sezionando i due solidi con due piani aventi ugual distanza dal vertice, si ottengono sezioni fra loro equivalenti

(questo è conseguenza dell’ultimo teorema del paragrafo 2).

Teorema

Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza.

Dimostrazione

Possiamo pensare di sostituire qualunque piramide assegnata, con una qualsiasi piramide a base triangolare,

purché tale seconda piramide abbia altezza uguale e base equivalente a quella della piramide originaria.

Infatti la “vecchia” piramide e quest’altra “nuova” saranno equivalenti per il precedente Teorema 2;

mentre il Teorema 1 ci assicura che prismi con basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti.

Noi supporremo che la “nuova” piramide, equivalente alla “vecchia”, abbia

● come base un triangolo rettangolo

● e il vertice tale che la sua proiezione sul piano della base

cada proprio nel vertice di uno degli angoli acuti del triangolo di base

(in realtà, nessuna di queste due condizioni è indispensabile per la dimostrazione,

tuttavia in questo modo la comprensione dei disegni dovrebbe probabilmente risultare meno difficoltosa).

Partiamo dunque dalla piramide ABCV della figura qui a destra, e innanzitutto costruiamo il prisma avente base ABC e altezza AV. Ci proponiamo di dimostrare che la piramide ABCV è la terza parte del prisma .
In pratica, alla piramide è stato aggiunto il solido , che ha forma di piramide a base rettangolare.
Adesso tracciamo la diagonale del rettangolo , che è la base del solido piramidale che abbiamo aggiunto alla piramide iniziale; il piano passante per i 3 punti B, e V divide la piramide a base rettangolare in due piramidi a base triangolare, che sono e . La prima è facile da visualizzare, la seconda un po’ meno: penso saranno utili le due figure seguenti, che mostrano tali due piramidi singolarmente:

Nella seconda figura abbiamo lasciato anche il segmento , per evidenziare che esso fa da altezza per entrambe le piramidi se ne prendiamo come basi e rispettivamente; ma allora, dato che i due triangoli e sono uguali fra loro in quanto ottenuti dividendo un rettangolo con una sua diagonale, le due piramidi, per avere ugual base e uguale altezza, sono equivalenti.
Riconsiderando ora la piramide ABCV di partenza, scopriamo che essa è equivalente alla perché

se si prendono per basi ABV e rispettivamente, le altezze corrispondenti sono CB e , ed essendo ● (triangoli in cui un rettangolo viene spezzato da una diagonale) ● e (lati opposti di un rettangolo), ABCV e hanno ugual base e ugual altezza. Ma allora il prisma , avente la stessa base e la stessa altezza della piramide iniziale ABCV, è composto dalle tre parti tutte equivalenti fra loro! Ciascuna delle tre parti è perciò 1/3 del prisma; in particolare, e la tesi è dimostrata.
CONSEGUENZE: FORMULA PER IL VOLUME DI UNA PIRAMIDE O DI UN CONO Poiché dunque una piramide, o un cono, hanno volume uguale a 1/3 del volume di un prisma che ha base equivalente e altezza uguale, per calcolare il volume di una piramide o di un cono la formula da utilizzare sarà