5.  IL VOLUME DELLA SFERA

 

 Teorema: il volume di una sfera è dato da   

Dimostrazione   “Incastriamo” (in geometria si dice: “inscriviamo”) la sfera di raggio r in un cilindro retto, che avrà dunque il diametro delle basi e l’altezza entrambi uguali al diametro della sfera.   I due coni aventi per vertice il centro della sfera e aventi per basi le due basi del cilindro formano un solido simile ad una clessidra.   Pensiamo ora allo strano solido ottenibile prendendo il cilindro e togliendogli i punti della clessidra: chiameremo questo solido “anticlessidra”.

Perché mai ci interessa l’ “anticlessidra”?

Perché ci proponiamo di dimostrare che tale anticlessidra è equivalente alla sfera!!!

 

Infatti, consideriamo un piano  che intersechi perpendicolarmente, all’interno del cilindro,

l’asse di simmetria a della figura.

Su tale piano

●       la sfera staccherà un cerchio (avente come contorno la circonferenza intermedia nella figura)

●       l’anticlessidra staccherà una corona circolare (compresa fra le circ. più interna e più esterna della figura).

 

Ci basterà perciò dimostrare che il cerchio e la corona circolare sono equivalenti,

per poter affermare, grazie al Principio di Cavalieri, l’equivalenza fra la sfera e l’anticlessidra.

 

A tale scopo, immaginiamo di guardare la figura “di taglio”, con gli occhi giusto all’altezza del piano .

 

NOTA:  (vedi annotazioni sulla figura)    Allora per calcolare il volume della sfera basterà calcolare il volume dell’anticlessidra,  a sua volta uguale alla differenza fra il volume del cilindro e quello della clessidra.