8. ESERCIZI (risposte alla fine)
1) Per 3 punti distinti, non allineati, passa un piano e uno solo.
E se i tre punti distinti fossero invece allineati, per essi quanti piani passerebbero?
2) Come mai dal fatto che per 3 punti distinti, non allineati, passa un piano e uno solo,
discende come conseguenza che due rette incidenti individuano un piano e uno solo?
3) Un icosaedro ha 20 facce e 30 spigoli. Quanti vertici ha?
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4) “In una piramide qualsiasi (anche non retta), detti V il vertice, AB un lato della base, H la proiezione di V sul piano della base, e K la proiezione di H su AB, si ha che VK è l'altezza del triangolo VAB”: dimostra questo enunciato (figura).
5) Quanto misura la diagonale di un cubo di lato unitario?
Indicazione (con riferimento alla figura): traccia BD e BH; ora, HD è perpendicolare a BD: perché? Pitagora 2 volte.
6) Se un tetraedro regolare ha lato di lunghezza 1, quanto misura la sua altezza?
Indicazione: immagina di sezionare il tetraedro regolare con un piano che passi per uno degli spigoli, e sia perpendicolare a un altro spigolo; otterrai un triangolo; quanto misurano i suoi lati? Poi … |
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5 - Un cubo
6 - Un tetraedro regolare |
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4 - Una piramide |
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7) Completa le parti mancanti, indicate coi puntini di sospensione.
Teorema riguardante la sezione di una piramide con un piano parallelo alla base
“Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base, la sezione è un poligono simile al poligono che fa da base per la piramide. Inoltre, i lati corrispondenti (e i perimetri) di questi due poligoni simili stanno fra loro come le rispettive distanze dal vertice della piramide, e le aree stanno fra loro come i quadrati di tali distanze”. |
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Dimostrazione
Nella figura qui a fianco, con un piano parallelo alla base ABCD. Dico che il poligono i segmenti stanno su due piani paralleli e pertanto non possono avere punti comuni. Ma allora i due triangoli
Ora per la similitudine (stesso motivo) di
e ne consegue Continuando in modo analogo, si dimostra che è
quindi i poligoni
Per poter concludere che sono simili occorre ancora far vedere che … |
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Ma in effetti è da noi visto sul piano, vale pure nello spazio) e analogamente per le altre coppie di angoli corrispondenti.
E così la similitudine è dimostrata.
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La proporzione (e analogamente per le altre coppie di lati
corrispondenti )
si giustifica considerando ora la similitudine dei triangoli … con le considerazioni seguenti: …
Infine, è noto che i perimetri di due triangoli simili stanno fra loro come … e quindi nel nostro caso come …
mentre le aree stanno fra loro come … e quindi nel nostro caso come …
8) Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 1, e ha altezza 2.
Calcola spigolo laterale e apotema.
9) Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato 1,
e ha altezza pure uguale a 1. Calcola spigolo laterale e apotema.
10) Quanto distano due vertici opposti di un ottaedro regolare di spigolo unitario?
11) Una piramide retta la cui base è un quadrato il cui lato misura 2 ha altezza anch’essa uguale a 2.
Stabilisci quanto misurano: a) lo spigolo laterale b) l’apotema c) il lato del cubo inscritto
12) Una piramide viene intersecata da un piano, parallelo alla base, che taglia l’altezza in due parti
delle quali quella contenente il vertice è 1/3 dell’altra.
Se l’area della base della piramide misura B, quanto misura l’area della sezione?
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13) Un cubo di lato 2 ha in comune la base ABCD con una piramide retta di altezza 3. La piramide spunta perciò fuori dal cubo. E’ richiesto di determinare il volume di questo solido, e la sua superficie totale (vedi figura qui a fianco).
14) Di un tronco di cono si suppongono note: l’area B della base maggiore, l’area b della base minore, la misura h dell’altezza. Ricava le altezze delle due piramidi di cui il tronco è la differenza e deduci da tutto ciò la formula per il volume del tronco di piramide, riportata al paragrafo precedente.
15) Tagliando una piramide con un piano, a metà della sua altezza, si ottiene un tronco di piramide. Qual è il rapporto fra il volume del tronco e quello della piramide intera? La risposta dipende dalla forma della piramide?
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16) La figura qui sotto rappresenta un cubo di lato 1. Trova i volumi dei due solidi ottenibili tagliando il cubo con il piano passante a) per i tre punti B, E, G b) per i tre punti I, L, C
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17) Dal vertice A di un triangolo equilatero ABC di lato 1 si alza un segmento AD perpendicolare al piano ABC, e di lunghezza 1. Trova volume e superficie totale del tetraedro ABCD e spiega perché non si tratta di una piramide retta sulla base ABC. |
18) Calcola volume e superficie totale del solido a forma di pastiglia che si ottiene ruotando di un giro completo intorno all’asse tratteggiato, la superficie raffigurata, composta da un quadrato di lato 2 |
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più due semicerchi di diametro 2. |
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19) Il segmento AB viene ruotato di un giro completo
intorno alla retta Determina l’area della superficie di rotazione. Stesso quesito con
riferimento a
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20) Calcola il volume del solido ottenibile ruotando il triangolo ABC intorno a) all’asse x b) all’asse y
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21) Determina il lato del cubo inscritto in una piramide regolare con base quadrata, nella quale il lato del quadrato di base abbia misura a e l’altezza abbia misura h.
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