RISPOSTE

 

1)   Per 3 punti allineati passano infiniti piani.

2)      Perché su una delle rette possiamo prendere 2 punti qualsiasi A e B,

e sull’altra un terzo punto C (purché non sia proprio l’intersezione fra le due)

e avremo quindi 3 punti non allineati, per i quali passerà 1 e 1 solo piano,

su cui le 2 rette giaceranno completamente perché se 2 punti di una retta appartengono ad un piano,

vi appartengono di certo anche tutti gli altri punti della retta.

                       

3)       f+v = s+2 (formula di Eulero) da cui, nel caso di un icosaedro (s=30, f=20),  v = s+2−f = 30+2−20=12.

 

4)      Nella situazione della figura, VK è l'altezza del triangolo VAB per il Teorema delle 3 perpendicolari. Infatti VH è perpendicolare al piano ABCD, e dal piede

      H di questa perpendicolare parte una seconda retta, la HK, che è perpendicolare

      ad una terza retta, la AB, giacente su quel piano: ma allora questa terza retta,

      secondo il teorema citato, è perpendicolare al piano individuato dalle prime due,

      che è poi il piano VHK:

      e ciò significa che AB è perpendicolare a tutte le rette di VHK passanti per K,

      quindi è perpendicolare anche a VK, come volevasi dimostrare.

 

 

 

 

 

 

5)      Innanzitutto, con riferimento alla figura, HD è perpendicolare a BD

perché HD è perpendicolare, in D, alle due rette DA e DC,

ma allora sarà perpendicolare a tutte le rette del piano da esse individuato,

passanti per D: e BD è una di queste.

Ora  

      e  

 

6)      Se un tetraedro regolare ha lato di lunghezza 1,

      quanto misura la sua altezza?

DM e AM,

altezze di

triangoli equilateri

di lato 1,

misurano

ciascuno

 

 

 

      Con riferimento alla figura più a destra, possiamo calcolare l’altezza DH procedendo ad esempio così:

      calcoliamo l’area del triangolo AMD prendendo come base AD e come altezza MK:

       

      dopodiché, prendendo invece come base AM e come altezza DH:   

 

7)   e  sono simili perché hanno gli angoli rispettivamente uguali (uno in comune, due coppie di 

 corrispondenti rispetto a parallele con trasversale) o anche: per il Corollario del 1° Crit. di Similitudine.

 

 Per poter concludere che sono simili occorre ancora far vedere che hanno gli angoli rispettivamente uguali.

 

 La proporz.  si giustifica considerando ora la similitudine dei triangoli  

 con le considerazioni seguenti: tale similitudine ci dice che , ma sapevamo che era

                                                    quindi ne deduciamo che  .

 

 Infine, è noto che i perimetri di due triangoli simili stanno fra loro come due lati omologhi e quindi

 nel nostro caso come  mentre le aree come i quadrati di due lati omologhi .

 

 

8)   

      

9)         

10)    

11)  

12)  

 

13)

 

 

14)

 

.

E’ noto (teorema sulle sezioni di una piramide con piani paralleli alla base, paragrafo 2, ripreso poi nell’esercizio 7 di questa rassegna),

che vale la proporzione  

quindi si avrà   da cui

 

Delle due soluzioni quella col “−” è <0  e perciò non accettabile.

Resta l’altra, che porta a

 

per cui il volume del tronco, differenza dei volumi delle due piramidi, sarà

 

che è proprio la formula riportata nel paragrafo precedente a questo.

 

 

 

15) Il rapporto è 7/8; no, la risposta è indipendente dalla forma della piramide.

 

 

16)    a) 1/6,  5/6     b) 1/4, 3/4

 

17)   .

Sarebbe stata retta se la proiezione del vertice sulla base

fosse stato il centro della base stessa, non un suo vertice

 

18)    

19)    

20)    

21)