TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE
1. COSA SI INTENDE PER “TRASFORMAZIONE PIANA”
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Si dice “trasformazione geometrica piana”, o brevemente “trasformazione piana”, una corrispondenza biunivoca del piano con sé stesso, ossia una corrispondenza nella quale
♪ ad ogni punto del piano corrisponde uno e un solo altro punto del piano ♫ e, viceversa, ogni punto è il corrispondente di uno e un solo altro punto.
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q Esempio 1
Definiremo ora una corrispondenza fra punti del piano, che verrà chiamata “omotetìa”
(nel seguito ometteremo l’accento).
Un’omotetia è caratterizzata da un “centro di omotetia” e da un “rapporto di omotetia”.
Vediamo di cosa si tratta, considerando, per meglio fissare le idee, un caso particolare:
supporremo che il rapporto di omotetia, che indicheremo con k, sia uguale a 3.
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Sia O un punto fissato del piano. L’omotetia di centro O e rapporto k=3fa corrispondere (vedi figura) ad ogni punto P del piano quel punto
I.
II.
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E’ evidente che
in questo modo risulta definita una “corrispondenza biunivoca del piano con sé stesso”:
infatti
♪ ad ogni punto del piano resta associato uno ed un solo altro punto;
♫ e viceversa, ogni punto del piano potrà essere “visto” come il corrispondente di uno ed un sol punto.
Quindi siamo in presenza di una “trasformazione geometrica piana”.
Diremo che
è “il corrispondente” di P, o anche
“l’immagine” di P,
attraverso la trasformazione considerata
e, se indichiamo tale trasformazione con t, potremo scrivere
(leggi: “
è uguale a t di
”)
oppure
(leggi: “ t fa passare da
a
”, oppure: “
è l’immagine di
attraverso la t ”)
Il punto P, a sua volta, verrà detto “la
controimmagine” di .
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Quando si
vuole affermare che t fa corrispondere al punto P, il punto si adopera spesso una locuzione suggestiva: si dice che t
“muta” P in
Dal punto di vista psicologico, ciò equivale a:
a) partire dal punto P b) applicare la funzione t c) e poi andare a considerare l’immagine
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Nella nostra
mente, ora, non c’è più P, c’è invece P “è
diventato”
La questione, però, è soltanto psicologica. In realtà, il punto P è rimasto al suo posto, e abbiamo
semplicemente stabilito di fargli corrispondere come se una
freccia partisse da P e avesse la sua punta in |
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Prendiamo ora un triangolo ABC, disegniamo innanzitutto le
immagini attraverso la solita omotetia di centro O e rapporto 3, e costruiamo la figura costituita da tutti i punti che corrispondono ai punti del lato BC (brevemente: la figura costituita da tutte le immagini dei punti di BC).
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Si constata, e si potrebbe dimostrare in modo rigoroso, che le immagini dei punti del segmento BC
costituiscono, nel loro insieme, ancora un segmento, e
precisamente il segmento ,
ossia quello
avente per estremi il punto (che è l’immagine di B) e il punto
(che è l’immagine di C).
Si dice, brevemente, che “ l’immagine del segmento BC
è il segmento ”, e si può scrivere
.
Analogamente,
l’immagine del segmento AB non è altro
che il segmento ,
e l’immagine del segmento AC coincide
col segmento .
Insomma, la nostra omotetia “trasforma segmenti in segmenti”!
Prendendo poi un punto P che sia interno al triangolo ABC,
la sua immagine starà internamente al triangolo
,
e complessivamente
l’insieme dei punti interni ad ABC risulta
avere come immagine l’insieme dei punti interni ad .
In definitiva, si vede che questa corrispondenza “trasforma”
il triangolo ABC nel triangolo .
Si potrebbe provare che il “nuovo” triangolo è simile al “vecchio”,
con perimetro triplo e area che è 9 volte l’area del triangolo iniziale.
Per significare che
“ l’insieme delle immagini dei punti
del triangolo ABC, costituisce il triangolo ”
si può scrivere
e dire, appunto, che la t «trasforma
il triangolo ABC nel triangolo ».
Cliccando su questa freccia ð,
potrai vedere una bella figura dinamica GEOGEBRA
(grazie al creatore di questo fantastico freeware, l’austriaco Marcus Hohenwarter!)
che mostra all’opera un’omotetia il cui centro e il cui rapporto possono essere fissati dall’utente.
E’ possibile pure scegliere di far sì che il rapporto di omotetia k sia <0.
Delle omotetie con rapporto negativo, comunque, ci occuperemo più avanti.
q Esempio 2
Un altro bell’esempio di trasformazione piana è la “simmetria assiale”.
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Sia a una retta fissata su di un piano. Si dice “simmetria assiale di asse a” quella corrispondenza (vedi figura) che ad ogni punto P del piano fa corrispondere quell’altro punto ottenuto tracciando da P la perpendicolare PH alla retta a, e prolungando il segmento PH di un segmento
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Cliccando su questa freccia ð, ecco una figura GEOGEBRA per vedere all’opera una simmetria assiale.
In particolare, trascinando col mouse il punto Q della figura, che è vincolato a restare sul contorno di ABC,
constaterai come anche in questo caso la trasformazione “muti segmenti in segmenti”.
ESERCIZI
1) Considera l’omotetia avente per centro il punto O della figura sottostante, e rapporto k = 1/2.
a) Determina le immagini dei vertici del rettangolo ABCD.
b) Qual è l’immagine di O nella trasformazione?
c) Determina le controimmagini A*, B*, C*, D* dei vertici di ABCD.
Vai a vedere la soluzione ð
2) Nella figura sotto riportata sono presenti un rettangolo ABCD e una retta a.
a) Disegna le immagini ,
e le controimmagini A*, B*, C*, D*, dei vertici di ABCD,
nella simmetria assiale di asse a.
b) Quali sono, qui, i punti del piano che coincidono con la propria immagine (punti “uniti”)?
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Vai a vedere la soluzione ð |
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Semplici trasformazioni geometriche con GEOGEBRA
Fermo restando che innanzitutto devi saper svolgere gli esercizi su carta, con matita, righello e squadra, il freeware GEOGEBRA permette, fra le tantissime cose, anche di sottoporre una figura a qualche trasformazione geometrica fondamentale.
L’icona che serve a questo scopo è facilmente riconoscibile, e il messaggio di HELP ti spiega come fare.
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