5.      TEOREMI SULLE ISOMETRIE

 

 

1.    In un’isometria a rette incidenti corrispondono rette incidenti,

e a rette parallele corrispondono rette parallele.

 

2.    In ogni isometria l’immagine di un triangolo è sempre ancora un triangolo,

uguale ( = congruente) a quello di partenza.

 

3.    In ogni isometria ad un angolo corrisponde sempre un angolo, uguale a quello di partenza.

 

4.    In ogni isometria ad un poligono corrisponde sempre un poligono, uguale a quello di partenza.

 

 

q       Dimostrazione del teorema 1

 

·        Siano  a, b  due rette incidenti, e   le rispettive rette immagini attraverso un’isometria  

(sappiamo che un’isometria è anche un’affinità, quindi l’immagine di una retta attraverso un’isometria

è sempre ancora una retta). Detto W il punto di intersezione fra a e b, l’immagine  di W

dovrà appartenere tanto alla retta  quanto alla retta , le quali pertanto saranno anch’esse incidenti.

 

·        Se invece a, b sono due rette parallele, le loro immagini  dovranno pure essere parallele,

perché se, per assurdo, avessero un punto in comune, la controimmagine di questo punto dovrebbe

appartenere sia alla retta a che alla retta b, che quindi non sarebbero parallele, contro quanto supposto.

 

q       Dimostrazione del teorema 2

 

Sia  un’isometria, e sia ABC un triangolo. Vogliamo innanzitutto dimostrare

che l’insieme delle immagini dei punti di ABC costituisce ancora un triangolo;

successivamente, faremo vedere che tale triangolo è uguale ad ABC.

 

Sia dunque: . Poiché un’isometria muta segmenti in segmenti,

l’insieme delle immagini dei punti del segmento AB andrà a costituire il segmento  (brevemente:

l’immagine del segmento AB sarà il segmento  ), e analogamente per gli altri due lati. Insomma,

: il “contorno” di ABC si muta nel “contorno” di .

 

Occorre ora provare che ogni punto P interno ad ABC

ha come immagine un punto , che è interno ad .

 

Sia dunque P un punto interno ad ABC.

Sia N l’intersezione della semiretta AP col lato BC.

Il punto P appartiene al segmento AN.

Sia . Il punto  apparterrà a , perché questo segmento è

costituito dalle immagini dei punti del segmento BC; ed N sta, appunto, su BC.

Ora il punto  dovrà appartenere al segmento ,

ma quest’ultimo segmento è interno al triangolo ;

e ciò prova che  è interno ad .

 

Per completare la dimostrazione, manca ancora un passaggio:

bisogna far vedere che la controimmagine di ogni punto interno ad  è interna ad ABC.

Sia dunque Q* un punto interno ad ; indichiamo con Q la sua controimmagine.

Vogliamo far vedere che Q è interno ad ABC.

Chiamiamo S* l’intersezione della semiretta  col lato ; sia S la controimmagine di S*.

Teniamo presente che il punto Q* appartiene al segmento .

Il punto S dovrà appartenere a BC, perché quest’ultimo segmento

è costituito dalle controimmagini dei punti del segmento ,

ed S* sta appunto su .

Consideriamo ora il segmento AS, che è interno al triangolo ABC:

l’insieme delle immagini dei suoi punti va a costituire il segmento ;

ma tra i punti di  c’è anche Q*; quindi la controimmagine Q del punto Q*

sta su AS, che è interno ad ABC (NOTA)

 

Tutto ciò prova che l’insieme delle immagini dei punti

del triangolo ABC, va a costituire ancora un triangolo (  ).

 

Riguardo infine al fatto che  sia uguale ad ABC, ciò è conseguenza immediata del

3° Criterio di uguaglianza dei triangoli (  per def. di isometria).

E con ciò la dimostrazione del teorema è completata.

 

 

      NOTA - Più brevemente, per far vedere che la controimmagine di ogni punto interno ad  

                    è interna ad ABC, si sarebbe potuta chiamare in causa la corrispondenza inversa della  i.

                    Come sappiamo, l’inversa di un’isometria è ancora una isometria; e per quanto già dimostrato sopra,

                    siamo certi che le immagini, attraverso la , dei punti interni ad , sono interne ad ABC.

                    Quindi le controimmagini, attraverso la  i, dei punti interni ad , sono interne ad ABC.