8.  TEOREMI SULLA COMPOSIZIONE ( = APPLICAZIONE SUCCESSIVA) DI DUE ISOMETRIE

 

1)      La composizione di due simmetrie assiali con assi paralleli è una traslazione.

Il vettore di questa traslazione è il doppio della “distanza vettoriale orientata” del 1° asse dal 2°.

 

2)      La composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti è una rotazione

●       il cui centro è il punto di intersezione dei due assi,

●       e il cui angolo è il doppio dell’angolo orientato individuato dai due assi, presi nell’ordine.

 

3)      La composizione di due simmetrie centrali di centri  è la traslazione di vettore .

 

4)      La composizione di due traslazioni di vettori  è la traslazione di vettore .

 

5)      La composizione di due rotazioni aventi lo stesso centro, è ancora una rotazione, avente

●       per centro lo stesso centro,

●       e per angolo di rotazione la somma algebrica degli angoli delle rotazioni componenti.

 

6)      La composizione di un’omotetia con un’isometria o viceversa

muta sempre un triangolo in un altro simile ed è per questo chiamata “similitudine”.

 

Dimostrazione di 1)			Il simbolo  indica la trasformazione che si ottiene applicando i.         al punto P iniziale, ii.      poi  al punto  ottenuto. Osserviamo che la trasformazione applicata PER PRIMA viene scritta PER ULTIMA.
		Nella catena, tutti i segmenti vanno pensati orientati.  Il vettore  esprime anch’esso una distanza “orientata” (da a verso b)
Dimostrazione di 2)
Dimostrazione di 3)
Dimostrazione di 4)				La somma di due vettori si effettua   ●         applicandoli uno di seguito all’altro, per poi prendere il vettore che parte dall’inizio del primo e termina sulla punta del secondo, proprio come illustrato qui a sinistra   ●         oppure con l’equivalente “regola del parallelogrammo” ð