Un’omotetia di rapporto negativo si comporta nel modo illustrato

dalla figura qui a fianco (dove, per fissare le idee, si è preso  k = −3).

 In definitiva, unificando le definizioni di omotetia a rapporto positivo e a rapporto negativo:

si dice OMOTETIA di centro O e rapporto k  )

la  trasformazione piana che ad un punto P associa il punto , tale che

a)     siano allineati;

b)    si abbia , interpretando i segmenti come orientati (in pratica, come rappresentanti di vettori);

oppure, se si preferisce: , interpretando i segmenti come “non orientati” = “assoluti”

ma con l’intesa che i due punti P,  vanno presi

q       dalla stessa parte, rispetto ad O, nel caso , 

q       da parti opposte rispetto ad O, nel caso .

q       E’ evidente che un’omotetia non conserva le distanze ( = non muta due punti A, B

in due altri punti  tali che la distanza  sia uguale alla distanza AB dei due punti iniziali),

quindi non è un’isometria; tuttavia, si potrebbe dimostrare che è un’affinità,

ossia che muta rette in rette, conservando l’ordine dei punti allineati

(e, di conseguenza, muta semirette in semirette, segmenti in segmenti, triangoli in triangoli).

q       Anzi, si può dimostrare (vedi la pagina a fianco) che in un’omotetia di rapporto k

 l’immagine di un segmento AB è un altro segmento  tale che .

q       Da ciò segue che

se il rapporto fra due dati segmenti AB e CD è un certo numero h (AB/CD = h),

        allora avrà lo stesso valore h anche il rapporto fra i due segmenti  e  

        che corrispondono ad AB e CD attraverso un’omotetia:  .

Per indicare ciò si dice, brevemente, che “un’omotetia conserva i rapporti fra i segmenti”.

q       Inoltre un’omotetia conserva gli angoli ( = muta ogni angolo in un angolo uguale a quello di partenza)

 e trasforma sempre un triangolo in un altro triangolo, simile a quello di partenza.

 Se, tanto per fare un esempio, un’omotetia ha rapporto k = 3,

 allora trasformerà qualsiasi triangolo in un triangolo, simile a quello dato,

 avente ciascun lato triplo del lato corrispondente del triangolo originario,

 quindi anche il perimetro triplo, e l’area uguale a 9 volte l’area del triangolo di partenza.

q       Poiché poi qualsiasi affinità “muta rette parallele in rette parallele”

(facile la dimostrazione, del tutto analoga a quella data con riferimento alle isometrie),

ciò vale anche per le omotetie.

Questa ð bella figura dinamica GEOGEBRA mostra all’opera un’omotetia

  il cui centro e il cui rapporto (positivo o negativo) possono essere fissati dall’utente.

Consideriamo un’omotetia di centro O

e rapporto k (supponiamo inizialmente,

per meglio fissare le idee, k >0).

Siano A, B due punti qualsiasi del piano

e  le rispettive immagini.

Allora, per definizione di omotetia,

si avrà   e   

per cui i due triangoli  sono simili

per il 2° Criterio di Similitudine: hanno infatti

♪      due lati proporzionali  )

♫     e l’angolo compreso in comune.

                    ”

Con gli stessi ragionamenti della parte precedente,

si prova che in figura compaiono

due coppie di triangoli simili tra loro:

. E’ dunque

  e    

quindi anche    

e, permutando i medi,   .

Se allora , sarà anche   .

“In un’omotetia l’immagine di un triangolo

  è un triangolo simile a quello di partenza”.

Sia ABC un triangolo, e sia  la sua immagine

attraverso un’omotetia di rapporto k.

Si dice infine “SIMILITUDINE” una trasformazione che risulti dall’applicazione successiva

(“composizione”) di un’OMOTETIA + un’ISOMETRIA, o di un’ISOMETRIA + un’ OMOTETIA.

Le proprietà scritte nel precedente riquadro dedicato alle omotetie si estendono anche alle similitudini.