10. PUNTI UNITI, RETTE DI PUNTI UNITI, RETTE UNITE
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Si dice “punto unito”, o “punto fisso”, in una trasformazione, un punto che coincida con la sua immagine.
Esempi q In una simmetria centrale, il centro di simmetria è punto unito. q In una simmetria assiale, sono punti uniti tutti quelli dell’asse di simmetria. q In una traslazione, non si ha nessun punto unito.
Se una retta è costituita tutta da punti uniti, allora la si chiama “retta di punti uniti”.
q Esempio classico: in una simmetria assiale, l’asse di simmetria è una retta di punti uniti.
Se una retta viene mutata in sé stessa da una trasformazione, si dice che è una “retta unita”. Attenzione! Una retta unita non deve essere necessariamente una “retta di punti uniti”.
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♪ Ad esempio, in una traslazione non si ha nessun punto unito, quindi a maggior ragione non si hanno nemmeno rette di punti uniti; tuttavia, ogni retta parallela al vettore di traslazione è una retta unita, perché la trasformazione la fa “risovrapporre a sé stessa”, pur con tutti i punti spostati.
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♫ Un altro bell’esempio si può trovare pensando ad una simmetria assiale. Qui l’asse di simmetria è una “retta di punti uniti”. Se ora consideriamo una qualunque retta perpendicolare all’asse di simmetria, questa sarà “retta unita”, pur senza essere “retta di punti uniti”.
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11. INVERSA DI UNA TRASFORMAZIONE
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Data una trasformazione t, si dice
“trasformazione inversa” della t, e si indica col simbolo |
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quella trasformazione che, rispetto alla t, fa “tornare indietro”: ossia,
Insomma: P è l’immagine di Q attraverso la
trasformazione inversa se e solo se Q è l’immagine di P attraverso la t.
Possiamo anche dire che l’inversa di una trasformazione t, |
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è quella trasformazione
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q L’inversa di un’omotetia di centro O e rapporto k, è l’omotetia di centro O e rapporto 1/k;
q l’inversa di una traslazione è la traslazione di vettore opposto;
q l’inversa di una rotazione è la rotazione con lo stesso centro, ma di angolo opposto.
L’inversa di una simmetria, tanto centrale quanto assiale, è … la simmetria stessa!!!
Quindi, detta una simmetria (centrale o assiale, non
importa), avremo che
o, se si preferisce,
:
applicando per due volte una simmetria, si ritorna al punto di partenza.
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Se una trasformazione ha la proprietà di coincidere con la propria trasformazione inversa, si dice che è “involutoria”. Se t è una trasformazione involutoria, allora,
quando è
Possiamo dunque dire che le simmetrie (centrali e assiali) sono tipiche trasformazioni involutorie.
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