15. TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (soprattutto: affinità) NEL PIANO CARTESIANO
Nel piano cartesiano, una trasformazione può essere descritta dalle due equazioni che fanno passare
dalle coordinate del “punto iniziale” a quelle del “punto finale”
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Si può dimostrare che le AFFINITA’ ( = le trasformazioni che mutano rette in rette, conservando l’ordine dei punti allineati) sono tutte e sole quelle trasformazioni le cui equazioni sono “LINEARI” ( = “di 1° grado”), ossia della forma
PURCHÉ PERÒ si abbia
infatti se tale determinante si annulla, la corrispondenza non è biunivoca (vedi NOTA).
FRA LE AFFINITA’, SONO poi ISOMETRIE quelle
per le quali il determinante è tale che siano verificate ENTRAMBE LE CONDIZIONI SEGUENTI:
1)
2) gli elementi di una diagonale sono uguali e quelli dell’altra opposti.
Le trasformazioni il cui determinante soddisfa alla condizione 2), ma non necessariamente alla 1), sono invece le SIMILITUDINI ( = composizioni di un’ISOMETRIA con un’OMOTETIA, o viceversa).
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NOTA In effetti, fissata a piacere una coppia ,
la risoluzione rispetto a
del sistema
, che poi equivale a
,
permette di risalire alla coppia incognita cui la
corrisponde. Ma se il determinante
dei coefficienti delle incognite è nullo, tale sistema risulta impossibile o
indeterminato:
quindi il punto non ha, in tal caso, nessuna controimmagine,
oppure ne ha infinite.
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Per
la quantità
1) il suo valore assoluto esprime il rapporto fra le aree di due figure corrispondenti qualsiasi
2) il suo segno indica:
♪ se è positivo, che la trasformazione muta un poligono in un altro poligono, i cui vertici si susseguono nello stesso ordine (orario o antiorario) che avevano nel poligono iniziale (si parlerà di affinità “DIRETTA”);
♫ se è negativo, che la trasformazione muta un poligono in un altro poligono, i cui vertici si susseguono in ordine inverso rispetto ai vertici del poligono iniziale (si parlerà di affinità “INVERSA”).
In sintesi:
NOTA Gli aggettivi “diretta” e “inversa” qui usati vanno d’accordo, come è intuitivo e si potrebbe dimostrare, col significato che era stato loro attribuito nel paragrafo 7, quando, parlando di isometrie, avevamo convenuto di classificare una isometria come “diretta” nel caso fosse associabile ad un movimento rigido che non comportasse ribaltamenti ma solo strisciamenti, “inversa” nel caso contrario. OCCHIO INVECE a non confondere la locuzione “affinità inversa” con “affinità inversa di un’altra affinità”.
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Esempio
Consideriamo la trasformazione t descritta dalle equazioni
Innanzitutto, questa trasformazione è un’affinità,
perché le sue equazioni sono di con
.
Non è però una isometria (non si realizza la seconda delle due condizioni caratterizzanti).
“Esploriamo” ora il comportamento di questa affinità
andando a vedere, ad esempio, come opera sul triangolo ABC di vertici A(0,0); B(1,0); C(0,1):
Abbiamo disegnato il triangolo ABC e il suo trasformato A'B'C'. Dalla figura si può notare che
un'affinità, in genere, non conserva né le distanze (ad esempio, B'C' non è uguale a BC),
né i rapporti fra i segmenti (ad es., il rapporto AC/AB non è uguale ad A'C'/ A'B')
e neppure gli angoli: quindi, in generale, un'affinità muta sia le forma che le dimensioni delle figure.
Però in un'affinità è costante il rapporto S'/S fra le aree di due superfici corrispondenti,
e tale rapporto costante è uguale al
valore assoluto di quel determinante
che viene chiamato “costante di affinità” o anche “rapporto di affinità”.
Nel
nostro caso , quindi
e ciò significa che in questa particolare
affinità
che abbiamo scelto come esempio, si ha sempre S'/S = 1 (vale a dire, si conservano le aree).
In effetti si può facilmente verificare che l’area del triangolo A'B'C' è uguale all’area del triangolo ABC.
Abbiamo
anche scritto che, se ,
si parla di affinità “diretta”, se
di affinità “inversa”
(un’affinità diretta conserva il “verso” delle figure,
mentre un'affinità inversa effettua una specie di “ribaltamento”, invertendo il verso delle figure).
Nel
nostro caso, quindi l’affinità da noi considerata è
“inversa”.
In effetti, nel percorrere il perimetro di ABC troviamo, procedendo in senso antiorario,
prima A, poi B, poi C, mentre se vogliamo percorrere il perimetro del triangolo immagine A'B'C'
in modo da incontrare prima A', poi B', poi C' , dovremo procedere in senso orario.
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3 COPPIE DI PUNTI CORRISPONDENTI INDIVIDUANO UNIVOCAMENTE UN’AFFINITA’
Poiché
l’equazione di una generica affinità è
un’affinità è univocamente determinata quando, per 3 punti non allineati del piano, siano assegnati i rispettivi 3 punti corrispondenti, anch’essi non allineati.
Infatti tale conoscenza porta complessivamente a poter scrivere 6 condizioni!
Ad esempio, sapere che un’affinità t si comporta nel modo seguente:
permette di
scrivere, sostituendo nel sistema
Tali 6 condizioni, poste a sistema, consentiranno di determinare i valori dei 6 parametri a, b, c, d, m, n. Se ci provi, troverai
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