17.  COME SCRIVERE LE EQUAZIONI DELLA

TRASFORMAZIONE INVERSA DI UNA TRASFORMAZIONE DATA

 

Consideriamo una trasformazione t di equazioni
Per “trasformazione inversa” della t si intende, come sappiamo, quella trasformazione (si indica con  ) che fa “tornare indietro”, dal punto  al punto .

 

Abbiamo già osservato che:

 

●         l'inversa di una traslazione è la traslazione di vettore opposto;

●         l'inversa di un'omotetia di centro C e rapporto k è l'omotetia di centro C e rapporto 1/k;

●         l’inversa di una simmetria (centrale o assiale) è la simmetria stessa; ecc.

 

 

Ma come si fa, data una trasformazione, a scrivere le equazioni della trasformazione inversa? Vediamo.

 

Si prendono le equazioni della trasformazione data …

 

 

IN GENERALE:	ESEMPIO:
… e si risolve il sistema rispetto a x ed y, isolando cioè x, y:
(1)	(1)		NOTA: in questo caso il procedimento di inversione è stato semplicissimo; nella pagina a fianco troverai esercizi più complicati

 

Fatto! Ecco che abbiamo ricavato le equazioni della trasformazione inversa.

 

In questo momento nelle equazioni della trasformazione inversa, così come le abbiamo ottenute,

il punto INIZIALE è indicato con  e il punto FINALE con :  .

 

MA NOI, SE VOGLIAMO, POSSIAMO SCAMBIARE I SIMBOLI,

indicando, in queste equazioni della trasformazione inversa,

il punto INIZIALE con  e quello FINALE con : 

,

il che corrisponde a pensare la  come una trasformazione a sé stante,

liberandoci dal doverla per forza immaginare come l’inversa di un’altra.

Se facciamo così, otteniamo:

(2)

(2)

… ed è importante capire che le equazioni (1) e le equazioni (2) sono … LA STESSA COSA,

nel senso che sia le (1) che le (2) individuano la medesima trasformazione, la nostra brava  …

 

… la differenza sta solo nei simboli con cui si indicano le coordinate del punto iniziale e di quello finale.

 

RICAPITOLAZIONE    Sia t  la trasformazione di equazioni        Se vogliamo scrivere le EQUAZIONI DELLA TRASFORMAZIONE INVERSA      1)  invertiamo le equazioni di t isolando, in esse, x e y e ottenendo       2)  scambiamo  con  (almeno nei casi in cui vogliamo pensare la  come una trasf. a sé stante)       così da scrivere la    nella forma, equivalente alla precedente ma più consueta,

 

 

ALTRI ESEMPI

q       Invertire la trasformazione   

 

Interpreto le equazioni come finalizzate a ricavare la coppia  nota la coppia ;

scambio perciò i membri e innanzitutto faccio in modo che a primo membro ci siano soltanto x e y:

 

 

 

dopodiché ricavo x e y:

 

 

 

Ora posso scambiare la coppia  con la  e, se voglio, spezzare le frazioni:

   oppure    

 

 

q       Invertire la trasformazione   

 

Porto x e y, che sono le mie incognite, a primo membro:  

 

dopodiché ricavo x e y:

 

 

 

Ora posso scambiare la coppia  con la  e, se voglio, spezzare le frazioni:

   oppure    

 

 

 

q       Invertire la trasformazione