18.  EQUAZIONE DELL’ IMMAGINE DI UNA CURVA ASSEGNATA, ovvero:

 data una trasformazione, tramite le sue equazioni, e data una curva, tramite la sua equazione,

 scrivere l’equazione della curva immagine.

 

Consideriamo la trasformazione t di equazioni   

e prendiamo la curva  di equazione   

Vogliamo determinare l'equazione della curva immagine .

 

Ragioniamo in questo modo: la curva immagine  è l’insieme dei punti del piano cartesiano,

        le cui CONTROIMMAGINI appartengono alla curva .

 

Prendiamo perciò un generico punto del piano cartesiano.

Indichiamone le coordinate con , perché noi vogliamo pensare quel punto come

l’IMMAGINE di un altro punto  al quale ci proponiamo di risalire.

 

Che coordinate avrà la CONTROIMMAGINE del nostro punto ?

Per rispondere dovremo INVERTIRE le equazioni della trasformazione:

 

 

 

e con ciò possiamo dire che la controimmagine di un generico punto  del piano cartesiano

è il punto le cui coordinate sono   

 

Adesso possiamo impostare la seguente catena di doppie implicazioni:

 

 

Pertanto un generico punto  del piano cartesiano appartiene alla curva  

se e solo se le sue coordinate verificano l’uguaglianza  .

 

Ma ciò significa che quest’ultima equazione, la ,

E’ GIA’ L’EQUAZIONE di  cercata,

proprio perché è un’uguaglianza che è verificata se e solo se  è un punto di !

 

I simboli  sono qui usati per indicare le coordinate del generico punto del piano cartesiano.

Dunque, volendo, essi possono essere tranquillamente sostituiti con i più consueti simboli .

 

Concludendo, l’equazione di  è:  .

 

RICAPITOLAZIONE E GENERALIZZAZIONE    Sia t la trasformazione di equazione     e sia  una curva di equazione  oppure .    Se vogliamo scrivere l' EQUAZIONE DELLA CURVA IMMAGINE , i passi sono i seguenti:  1)   INVERTIAMO le equazioni    in modo da ottenere     2)   SOSTITUIAMO nell'equazione della curva data    3)   SOPPRIMIAMO GLI APICI.     OSSERVAZIONE  Se abbiamo a disposizione le equazioni della TRASFORMAZIONE INVERSA,  già nella forma “a simboli scambiati”  ,  il procedimento equivale semplicemente a  SOSTITUIRE I SECONDI MEMBRI DI QUESTE EQUAZIONI nell’equazione della curva assegnata.