19.  EQUAZIONE DELLA CONTROIMMAGINE DI UNA CURVA DATA

 

Data una trasformazione t  di equazioni      e data una curva  di equazione  oppure  ,   SE SI SOSTITUISCONO NELL'EQUAZIONE DELLA CURVA , AL POSTO DI x E y, I DUE SECONDI MEMBRI  e , SI OTTIENE L'EQUAZIONE ...  NON DELL'IMMAGINE, BENSI' DELLA CONTROIMMAGINE DELLA CURVA CONSIDERATA.   Ad esempio, con    e  ,   facendo la sostituzione      si perviene a    che è la controimmagine della     ( puoi controllarlo agevolmente con un disegno se osservi che   la trasformazione t del nostro esempio è l’omotetia di rapporto 3 e centro (1,2) )

 

 

GIUSTIFICAZIONE

 

Un generico punto  del piano cartesiano appartiene alla curva controimmagine di  se e solo se

l’immagine di , ossia il punto di coordinate  ,  appartiene a .

Ma ciò avviene se e solo se ,

sostituendo le espressioni  al posto di x e di y rispettivamente, nell’equazione di ,

si ottiene un’uguaglianza vera.

 

 

Riassumendo tutto il ragionamento in una catena di doppie implicazioni:

.

 

ESERCIZI SU:

TRASFORMAZIONE INVERSA, CURVA IMMAGINE E CONTROIMMAGINE

 

Ecco qui di seguito una piccola rassegna di affinità. Scegline una e rispondi ai quesiti sottostanti.

 

           

a)       1)   Quanto vale la “costante di affinità” ?

2)      L’affinità in esame è diretta o è inversa?

3)      E’ una isometria?

4)      E’ un “caso particolare” fra quelli del paragrafo 16

 (traslazione, simmetria rispetto a un punto o a una parallela agli assi, omotetia …)?

 

b)       1)   Determina, tramite passaggi algebrici, le equazioni dell’affinità inversa.

 

2)      L’affinità in esame è involutoria?

 

3)      Nel caso l’affinità considerata fosse “particolare”, abbi cura di controllare se è confermato che

 

·      l’inversa di una traslazione è la traslazione di vettore opposto;

·      l’inversa di un’omotetia di rapporto k è un’omotetia con lo stesso centro, e rapporto 1/k;

·      l’inversa di una simmetria (centrale o assiale) è la simmetria stessa

 

c)      Determina l’immagine e poi la controimmagine:

 1)  della retta         2)  della circonferenza   

 

SOLUZIONI + link agli SVOLGIMENTI COMPLETI: pag. seguente