20. EQUAZIONI DELLA TRASFORMAZIONE COMPOSTA

(detta anche “trasformazione PRODOTTO”)

Sappiamo che “comporre” due trasformazioni significa “applicarle successivamente”.

Consideriamo ad esempio due punti fissi e , e

♪ applichiamo al generico punto del piano

innanzitutto la simmetria di centro ,

ottenendo un certo punto ;

♫ poi, a questo , applichiamo la simmetria di centro

pervenendo ad un nuovo punto .

Possiamo ora pensare alla trasformazione che muta direttamente in :

questa sarà indicata con

(si scrive per prima la trasformazione che viene applicata per ultima!)

e sarà chiamata

“trasformazione composta”, o anche “trasformazione prodotto”.

· Osserviamo che la composizione di due trasformazioni non è, in generale, commutativa:

vai a riprendere l’esempio appena fatto, e verifica che .

· Ribadiamo ancora:

SI DEVE APPLICARE PER PRIMA LA TRASFORMAZIONE CHE È SCRITTA PER ULTIMA.

Se trovo scritto devo applicare prima g e poi f

(ciò vale sia con le trasformazioni che, più in generale, con tutte le funzioni).

Facciamo un esempio che mostri come si scrivono le equazioni della trasformazione composta,

date le equazioni delle trasformazioni componenti:

Se è richiesto di ricavare le equazioni di , allora faccio così (devo applicare prima e poi ):

e ho, in definitiva:

I punti iniziale e finale sono qui indicati rispettivamente con e ;

per ripristinare la notazione più consueta, potrei, volendo, trascrivere

ribattezzando il punto finale con :

ESERCIZI SULLA TRASFORMAZIONE COMPOSTA

1) Andando a riprendere le affinità
di cui all’esercizio precedente:

a) scegli qualche coppia e scrivi le equazioni della trasformazione composta ;

b) componi qualche trasformazione con la sua inversa, per verificare che così facendo si ottiene l’identità,

ossia la trasformazione di equazioni

Fanne, con passaggi algebrici, la composizione e verifica che si ottiene ancora una traslazione.