22.  ESERCIZI SULLE AFFINITA’ (soluzioni alla fine della rassegna)

 

q      Studia le affinità seguenti:

 

1)	2)		3)				4)			5)
6)		7)			8)			9)
10)		11)		12)			13)		14)
15)		16)				17)		18)

 

q      Esercizi vari

 

19)   Considera l’affinità di equazioni:    

e trova l’immagine e la controimmagine della circonferenza   

(circonferenza di centro l’origine e raggio 1)

 

20)   Considera l’affinità di equazioni:   

e trova l’immagine e la controimmagine della retta   

 

21)   Scrivi le equazioni:

a)      della simmetria di centro     b)  della simmetria di centro  

 

22)   Scrivi le equazioni:

a)      della simmetria  di centro     b)  della simmetria  di centro  

c)      Successivamente, scrivi le equazioni dell’affinità composta  , osservando che

si tratta di una traslazione, il cui vettore è il doppio del vettore  

 

23)   Dimostra facendo uso di equazioni che, in generale, il prodotto

( = composizione, applicazione successiva)

di due simmetrie di centri  

è una traslazione il cui vettore è  

(supponendo di applicare prima  poi  ).

 

24)   Scrivi le equazioni:

a)  della simmetria il cui asse è la retta     

b)  della simmetria il cui asse è la retta   

 

25)   Scrivi le equazioni della simmetria:  a) il cui asse è la retta      b) il cui asse è la retta   

c)      Successivamente, componi le due affinità

constatando che si ottiene la simmetria centrale di centro (1/2, 1).

Osserviamo che questa può anche essere interpretata

come una rotazione di 180° intorno al punto (1/2, 1):

ciò conferma che la composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti è una rotazione.

 

26)   Componi le due simmetrie assiali di assi  e ,

constatando che (gli assi essendo paralleli) si ottiene una traslazione.

 

 

 

27)   Componi (nell’ordine) le due simmetrie assiali aventi per assi

l’asse  e, rispettivamente, la retta .

Applica poi la trasformazione ottenuta al triangolo OAB, con ,

per constatare che si tratta di una rotazione di 90° in senso antiorario intorno all’origine.

 

28)   Se io ti dico che le due curve di equazioni    ;     

sono simmetriche l’una dell’altra rispetto a un punto, tu riesci a trovarmi le coordinate del punto?

 

29)   Si sa che la curva di equazione    è simmetrica rispetto a un punto

(“simmetrica” vuol dire “simmetrica di sé stessa”, ossia “mutata in sé stessa dalla simmetria”).

Trovare le coordinate del punto.

 

30)   Scrivi le equazioni:

a)      dell’omotetia di centro  e rapporto   

b)      dell’omotetia di centro  e rapporto   

 

31)   Scrivi le equazioni:

a)      dell’omotetia  di centro  e rapporto   

b)      e dell’omotetia  di centro  e rapporto   

c)      Successivamente, scrivi le equazioni dell’affinità composta  ,

osservando che si tratta ancora di un’omotetia,

il cui rapporto è il prodotto dei rapporti delle due omotetie di partenza,

e il cui centro è allineato coi loro centri.

 

32)   Scrivi le equazioni della simmetria rispetto alla retta .

 

33)   Scrivi le equazioni della simmetria assiale di asse   

Determina poi i punti uniti e le rette unite servendoti delle equazioni trovate:

constaterai, come del tutto prevedibile,

che c’è tutta una retta di punti uniti (la , ovviamente)

mentre sono rette unite, senza essere rette di punti uniti, tutte le  .

 

34)   Si può dimostrare che un’affinità è individuata in modo unico se, per 3 punti non allineati del piano,

vengono assegnate le rispettive immagini (anch’esse non allineate).

 

Ciò premesso, determina l’affinità che fa corrispondere le seguenti coppie di punti:

                       

 

35)   Determina le equazioni dell’affinità che fa corrispondere le seguenti coppie di punti:

                      

e successivamente trovane gli elementi uniti.

 

36)   Spiega perché non può esistere nessuna affinità che trasformi la terna di punti

 nella terna .

 

37)   Determina i coefficienti  a, b, c, d, m, n  in modo che l’affinità   

 

ammetta    come retta di punti uniti, e muti  in  

Successivamente, stabilisci se l’affinità ammette altre rette unite oltre alla .

 

38)   Esistono valori dei parametri  a, b  tali che l’affinità    sia un’isometria?

 

39)   UNA PROPRIETA’ INTERESSANTE         Dimostra che ogni affinità “conserva il punto medio dei segmenti”, nel senso che l’immagine, attraverso una qualsiasi affinità, del punto medio di un segmento , è sempre coincidente col punto medio del corrispondente segmento   (ricorda che l’ascissa del punto medio è la media delle ascisse, e analogamente per le ordinate).