SOLUZIONI

 

 

1)   : affinità diretta che moltiplica per 6 le aree.  Punto unito: l’origine.  Rette unite: .

2)   : aff. inversa che raddoppia le aree.  Punto unito: . Rette unite: .

3)   : affinità inversa che raddoppia le aree.  Punto unito: l’origine.  Rette unite:  ;  .

4)   : affinità diretta che moltiplica per 9 le aree.  Punto unito: .  Retta unita: .

5)   . E’ un’isometria diretta; ha come punto unito  e non ha nessuna retta unita.

 

6)   : affinità inversa che triplica le aree.

Punto unito: .  Due rette sono unite: la    e la  .

 

7)   . E’ una similitudine diretta, che raddoppia le aree

(quindi, essendo una similitudine, ingrandisce i segmenti in “scala”, moltiplicandone le lunghezze per  );

ha come punto unito  e non ha nessuna retta unita.

 

8)   : affinità inversa che conserva le aree. Ha una retta di punti uniti:  .

Rette unite: oltre alla precedente, tutte quelle di coefficiente angolare 1   (  ).

 

9)   . E’ una isometria inversa. Ha tutta una retta di punti uniti, la ,

e ha altre infinite rette unite, quelle della forma .

 

10) : affinità diretta che raddoppia le aree.  Non ha punti uniti.  Ha una retta unita: la   

 

11) . E’ una isometria inversa. Non ha punti uniti. Ha una retta unita, la .

12) : affinità inversa che conserva le aree. Ha una retta di punti uniti: . 

Rette unite: oltre alla precedente, tutte quelle parallele all’asse y   (  )

 

13) . E’ una similitudine inversa. In questa similitudine, dato che le aree vengono moltiplicate per 625,

le lunghezze dei segmenti vengono moltiplicate per 25.

Ha come punto unito l’origine, e ha le due rette unite  e  

14) : affinità inversa che conserva le aree. Ha una retta di punti uniti:  . 

Rette unite: oltre alla precedente, tutte quelle di coeff. ang. 3   (  ).

 

15)  Avrai riconosciuto che di tratta della traslazione il cui vettore ha componenti (3, 15).

E’ dunque un’isometria diretta (se calcoli la costante di affinità, la troverai uguale a +1

e vedrai che nel determinante i termini su di una diagonale sono uguali

e quelli sull’altra diagonale entrambi nulli e quindi interpretabili come opposti)

e non ha punti uniti, ma in compenso ha come rette unite tutte quelle parallele al vettore di traslazione,

ossia tutte quelle di equazione .

 

16) : affinità inversa che raddoppia le aree. Ha una retta di punti uniti: .

Oltre alla precedente, sono rette unite tutte le  .

 

17) : affinità diretta che triplica le aree.

       Ammette tutta una retta di punti uniti (la  )

e infinite rette unite (quelle di equazione  ).

 

18) Ti sei accorto che si tratta di un’omotetia?

Essa dimezza le lunghezze e moltiplica per  le aree;

l’unico suo punto unito è il centro di omotetia  

e ha invece infinite rette unite: se le ricerchi algebricamente, troverai

♪        le rette di equazione ,

le quali, come puoi constatare sostituendo, passano tutte per il punto (2, 4),

e hanno inclinazione non verticale che varia al variare di m; 

♫       più la , che è poi la retta verticale passante per (2, 4).

 

 

19)   Immagine:    

        Controimmagine:   

 

20)   Immagine:  .

        Controimmagine:   

 

21)   a)         b)  

 

22)   a)         b)  

c)   Componendo, si ottiene    che è effettivamente una traslazione,

il cui vettore ha componenti  mentre le componenti di  sono  

23)  La simmetria di centro  ha equazioni:  

       e quella di centro  ha equazioni: .

       Componiamole:     

                                    

      

e	è proprio una traslazione, il cui vettore ha componenti    che sono proprio le componenti del vettore

                               

24)   a)         b)  

 

25)   a)         b)  

 

26)   L’affinità composta è  : si tratta effettivamente di una traslazione.

27)   Si ottiene   

28)  Sottoponiamo una delle due curve, ad esempio la ,

alla simmetria centrale avente per centro un punto  da determinarsi

(basterà effettuare, nell’equazione della curva, le sostituzioni   ).

Imponiamo poi che l’equazione così ottenuta coincida con l’equazione dell’altra curva.

Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle due incognite .

Tale sistema, nonostante il numero delle incognite superi il numero delle equazioni,

è, eccezionalmente, possibile (si usa dire: “compatibile”), per il fatto che l’esercizio era stato costruito “ad hoc”,

in modo che le due curve fossero, effettivamente, simmetriche rispetto ad un punto. 

Si trova  

 

29)   

 

30)  a)        b)  

 

31)  a)        b)         c)   

 

32)  Le relazioni che fanno passare dalla coppia  alla  si possono scrivere tenendo conto che:

●         il punto medio del segmento  deve appartenere alla :   

●         la retta  dev’essere perpendicolare alla  e quindi avere coefficiente angolare 1/4:  

        

       Ponendo a sistema le due relazioni e risolvendo rispetto a  si ottiene:  

       Per un controllo di correttezza,

       puoi applicare la trasformazione a qualche punto del piano,

       ad esempio , od altri.

 

33)   

 

34)   

 

35)   

 

        Punto unito: .

        Rette unite:  ,   

 

36)  Semplice: i primi 3 punti sono fra loro allineati, ma allora dovrebbero esserlo anche le rispettive immagini

(un’affinità conserva l’allineamento!), mentre non lo sono.

 

37)    

      

       Sono rette unite tutte quelle di coefficiente angolare : 

        

 

38)   Sì:   

 

39)   Devi considerare una generica affinità

      ,

due generici punti  e ,

il punto medio  del segmento AB,

poi calcolare le coordinate delle rispettive immagini ,  ed ,

infine trovare le coordinate del punto medio del segmento  

e constatare che tale punto medio coincide con .