2.10 - Il binomio di Newton
|
Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell' n-esima potenza di un binomio. Essa è:
Il simbolo Si legge “sommatoria, per k che va da 0 a n, di …” e “funziona” in questo modo: si prende l’espressione a destra e in essa si pone k = 0; poi k = 1; poi k = 2; ecc. … fino a k = n. I termini così ottenuti vengono sommati algebricamente fra loro.
|
Dimostrazione della formula
dove a secondo membro abbiamo n
fattori.
Bene! Si può pensare di effettuare la moltiplicazione
scegliendo, da ciascun
fattore ,
o il termine a, o il termine b, in tutti i modi possibili,
per poi sommare algebricamente i prodotti così ottenuti.
Ora,
se io scelgo, ad esempio, volte il fattore
e
volte il fattore
,
avrò il monomio
.
Ma QUANTE VOLTE comparirà, questo monomio, nella somma finale?
Tante
volte quanti sono i modi coi quali, fra gli fattori, posso selezionare quei
dai quali scegliere
.
E
tali modi sono . Di qui la formula.
Vediamo qualche esempio di applicazione:
|
E’ interessante come i
coefficienti così ricavati per gli sviluppi delle potenze successive di un
binomio coincidano con quelli che si possono ottenere con il noto schema chiamato “triangolo di Tartaglia”, schema derivante da un ragionamento completamente diverso!
|
|
|
Per costruire il Triangolo di Tartaglia, possiamo immaginarlo come un albero di Natale. In alto, sul cucuzzolo, ci mettiamo un 1.
|
|
|
Ora scendiamo lungo le pendici dell’albero, scrivendo (seconda riga) un 1 e poi un altro 1.
|
|
|
Scendiamo ancora: siamo sulla terza riga; come primo elemento della riga scriviamo un 1; poi, dato che sopra di noi troviamo una coppia di 1, scriviamo un 2 (1+1=2). Terminiamo la riga con un 1. Abbiamo così costruito i
coefficienti
|
|
|
Scendiamo ancora, ed ecco che, procedendo allo stesso modo, si generano
i coefficienti E così per le righe successive.
|
|
ESERCIZI
83) Quanto vale il 3°
coefficiente dello sviluppo di ? E il 4° coefficiente di
?
84) Scrivi gli sviluppi di ,
e
.
Ricava i coefficienti sia con il binomio di Newton che col Triangolo di Tartaglia.
85) Considera il prodotto
notevole .
a) Di quanti termini consta il suo sviluppo? b) Quanto vale il coefficiente del termine centrale?
c) E i coefficienti dei due termini che precedono e seguono questo?
86) Considera il prodotto
notevole .
a) Di quanti termini consta il suo sviluppo? b) Quanto valgono i coefficienti dei due termini centrali?
87) Determina il 4° termine dello
sviluppo di
88) Determina il 7° termine dello
sviluppo di
89) Determina (senza svolgere
i calcoli) l’espressione del coefficiente di nello sviluppo di
90) A partire dalla formula del binomio di Newton
dimostra che
a) b)
RISPOSTE
83) ;
84)
;
…
85) a) 19 termini
b) c)
86) a) 16
b)
;
87)
88)
89)
Quindi,
·
nel termine in
cui compare il moltiplicatore l’esponente di a è 500,
·
nel termine in cui
compare il moltiplicatore è
,
·
nel termine in
cui compare il moltiplicatore è
,
·
… nel termine in
cui compare il moltiplicatore è
.
Il
termine nel quale è presente la potenza corrisponderà perciò al valore di k determinabile
tramite
la seguente equazione:
Esso
è perciò e il relativo coefficiente numerico è uguale
a
.
90) Si tratta semplicemente di
svolgere, tramite la formula in questione, le operazioni e