2.3 - Il coefficiente binomiale

 

 

I numeri    vengono anche detti (per un motivo che chiariremo) “coefficienti binomiali”,

e si suole indicarli col simbolo specifico    che si legge “coefficiente binomiale n su k” .

Si ha dunque  o anche  

e il fatto che sia  porta alla seguente utilissima idea-guida:

 

 

 

IDEA-GUIDA  SUL COEFFICIENTE BINOMIALE

 

 

 

 

 

 

         

                

 

 

 E’, ovviamente, opportuno semplificare le frazioni con fattoriali prima di svolgere il calcolo …

 

 Esempi:   

 

 

q       Esempio 4 - Ho un insieme di 7 oggetti distinti. In quanti modi posso sceglierne:  a) 3?   b) 2?   c) 1?   d) 6?

Risposte: 

 

 

 

La PROPRIETÀ più notevole dei coefficienti binomiali è la seguente:   

 

 

L’identità in questione è facile da dimostrare col calcolo (provaci!), e comunque si può subito ragionare così:

  è il numero di modi con cui è possibile, dati n oggetti, sceglierne k; ma sceglierne k equivale

          a scegliere quegli  che si vogliono escludere; e tale ultima scelta si può effettuare in   modi.

 

2.4 - Permutazioni

 

 

Le "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI"

sono tutte le n-uple ordinate costruibili utilizzando, senza ripetizione, quegli oggetti;

il numero delle permutazioni di n oggetti si indica col simbolo  e dal Secondo Principio si ha subito:

 

E’ evidente che :

il numero delle permutazioni di n oggetti coincide col n° delle disposizioni di quegli oggetti, presi a n a n.

 

 

 

 

IDEA-GUIDA     Permutazioni: modi in cui è possibile permutare l'ordine di n oggetti

                                       (modi in cui è possibile ordinarli, metterli in fila, metterli in colonna)

 

 

q       Esempio 5 - In quanti modi possono 5 persone mettersi in coda davanti ad uno sportello?