2.5 - Esercizi su disposizioni, combinazioni, permutazioni, coefficiente binomiale
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Come ribadiremo nel commentare, alla pagina successiva, le soluzioni, si può ragionare ♪ cercando di ricondursi agli “schemi standard” delle disposizioni, combinazioni, permutazioni
♫ oppure semplicemente utilizzando quelle strategie di pensiero generali che abbiamo chiamato “1°, 2° e 3° principio del calcolo combinatorio”.
Tu in questa rassegna di esercizi cerca magari di arrivare alla risposta in entrambi i modi: ogni confronto fra modalità equivalenti di approccio è molto istruttivo!
Tieni comunque presente che (sebbene ognuno di noi abbia una propria tendenza individuale a privilegiare l’una o l’altra modalità) la seconda sembra essere di norma più efficace. Essa è anche più generale, perché permette di cavarsela con minore difficoltà quando il quesito è complicato e non può essere banalmente ricondotto a un caso standard.
E’ tuttavia MOLTO UTILE ricordare sempre che
quando si tratta di “contare il numero dei modi in cui, dato un insieme di n oggetti, è possibile scegliere k fra questi oggetti”, la risposta è data dal COEFFICIENTE BINOMIALE
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40) 4 studenti devono essere interrogati, e bisticciano sull’ordine di “uscita”.
In quanti modi è teoricamente possibile fissare quest’ordine?
41) 4 allievi devono accomodarsi, per un corso di recupero, in un’auletta vuota nella quale ci sono 8 banchi.
In quanti modi si possono disporre nell’aula?
42) Entra il bidello in un’auletta vuota, nella quale ci sono 10 sedie, per prendere, dato che servono
in un’altra aula, 4 di queste sedie. In quanti modi può effettuare la scelta delle sedie da portar via,
non essendo rilevante, ovviamente, l’ordine in cui le preleva?
43) Il mio contratto di lavoro è part-time, e mi richiede di essere in attività solo 3 giorni dal Lunedì al Venerdì.
In quanti diversi modi potrei fissare i 3 giorni lavorativi?
44) Fra 10 foto ne devo scegliere una da appendere in cucina, un’altra in tinello e una terza in camera da letto.
In quanti modi possibili posso effettuare questa tripla scelta?
45) Nadia è di animo tenero: essendosi trasferita in una casa con giardino, si reca al canile municipale,
dove sono ospitati 10 animali, decisa a prenderne in affidamento ben 3. Impietosita dalla vista delle gabbie,
decide di estrarre a sorte, anziché scegliere, i cani da adottare. Quanti sono i possibili esiti dell’estrazione?
46) In una classe di 20 studenti, ci sono solo 4 maschi! Se un bel giorno l’insegnante di Scienze ha deciso
di estrarre coi bigliettini 6 studenti a caso a cui affidare il riordino del laboratorio,
I) quanti sono gli esiti possibili dell’estrazione?
II) fra tutti questi possibili esiti, quanti sono quelli nei quali compare
a) nessun maschio? b) tutti e quattro i maschi? c) uno e un solo maschio? d) almeno un maschio?
47) Sul corridoio di una scuola si affacciano 5 aule, tutte pressappoco della stessa ampiezza,
che verranno occupate dalle 5 classi I A, II A, III A, IV A, V A.
In quanti diversi modi è possibile effettuare l’assegnazione delle aule alle classi?
48) In una classe di 20 allievi, 8 maschi e 12 femmine, dato che nessuno si è offerto di presenziare,
di domenica pomeriggio, alla cerimonia di inaugurazione di un monumento, si decide di estrarre a sorte
una delegazione di 3 maschi e 3 femmine. Quanti esiti diversi potrà avere l’estrazione?
49) Una password dev’essere obbligatoriamente di 4 caratteri, ciascuno dei quali può essere scelto fra le 26
lettere (maiuscole) dell’alfabeto inglese, oppure fra le 10 cifre da 0 a 9. Quante sono le password possibili?
50) Risolvi le seguenti equazioni: a) b)
c)
d)
e) f)
g)
h)
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51) Dimostra le seguenti identità: a) |
f) |
|
c) |
40)
In modi.
è il numero delle permutazioni di 4 oggetti,
ossia il numero dei modi in cui è possibile permutare
l'ordine di 4 oggetti.
Osserviamo che sarebbero
bastate le tecniche generali di pensiero apprese nei paragrafi precedenti,
e in particolare il 2°
Principio Generale del Calcolo Combinatorio, per giungere facilmente alla
risposta,
anche senza aver mai
sentito parlare di “permutazioni”.
41) In modi.
è il numero delle disposizioni di 8 oggetti, presi a 4 a 4, ossia
il n° delle quaterne ordinate che si possono costruire utilizzando
(senza ripetizione) 4 fra gli 8 oggetti dati.
E’ evidente che qui c’entra l’ordine: non
è la stessa cosa, per Anna, trovarsi nel banco numero 3 piuttosto
che
nel numero 7, perché magari il banco 3 è proprio davanti alla cattedra mentre
il 7 è più “tranquillo” …
Osserviamo che sarebbero
bastate le tecniche generali di pensiero apprese nei paragrafi precedenti,
e in particolare il 1°
Principio Generale del C. C., per giungere facilmente alla risposta:
Anna può scegliere il
suo banco in 8 possibili modi, dopodiché Bruno può scegliere uno dei banchi
rimanenti in 7 possibili
modi, Carlo può scegliere il suo in 6 modi, Donatella in 5 modi.
Diagramma ad albero … ventagli
successivi di scelte … moltiplicazione .
42) 43)
44)
45)
46) I) possibili esiti
II)
a) Tanti quanti sono i gruppi di 6
femmine, ottenibili “pescando” fra le 16 femmine:
b) Tanti quanti sono i
gruppi di 2 femmine!
c)
Scelgo uno di 4 maschi, e gli accosto un gruppo di 5 femmine!
d)
Il numero di esiti senza nessun maschio è, come abbiamo visto,
;
il n° tot. di esiti è
;
la risp. è dunque
47)
48) Devo scegliere i 3 maschi, e lo posso fare in
modi; per ognuna delle
possibili scelte dei maschi,
mi si apre un ventaglio di possibilità per la scelta delle 3 femmine. La
risposta è dunque
.
49)
Domanda-trabocchetto! Qui NON SI PUO’ RAGIONARE IN TERMINI DI
DISPOSIZIONI!
Infatti nulla vieta che un carattere, alfabetico o numerico, sia
ripetuto due o più volte nella sequenza …
Più avanti studieremo a questo proposito le “disposizioni con
ripetizione”,
ma non sono comunque necessarie, per rispondere, conoscenze in più
rispetto a quelle che già possediamo:
Per la scelta del 1° carattere ho 26+10=36 possibilità, dopodiché mi si
apre un ventaglio sempre di 36
possibilità per la scelta del 2° carattere … La risposta al quesito è .
b) c)
d)
e)
f)
g)
h)