2.7 - Permutazioni di n oggetti non tutti diversi
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Possiamo pure pensare alle "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI NON TUTTI DIVERSI".
Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l’uno dall’altro e dai precedenti, quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire utilizzando quegli n oggetti? Il numero di tali
n-uple si indica con
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Per la dimostrazione, è sufficiente utilizzare un artificio che ci è ormai consueto:
quegli m oggetti che sono identici, pensiamoli inizialmente distinti,
poi considereremo "come se fosse una sola n-upla" tutto quel gruppo di n-uple che,
per effetto della indistinguibilità fra gli m oggetti, appaiono identiche;
ma il numero di tali n-uple è, evidentemente, m! (m fattoriale),
perché coincide col numero di modi in cui è possibile permutare l'ordine di quegli m oggetti.
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GENERALIZZAZIONE
Siano dati n oggetti, dei quali m uguali fra loro, r uguali fra loro, s uguali fra loro ... (m+r+s+... = n). Quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire? Il numero di tali
n-uple si indica col simbolo e si potrà dimostrare, riadattando la tecnica vista appena sopra, che
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q Es. 9 - Avendo 3 palline bianche identiche fra loro, 6 rosse identiche fra loro e 5 verdi identiche fra loro,
quante sequenze distinguibili potremo costruire con questi 3+6+5=14 oggetti?
2.8 - Permutazioni cicliche
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Si può pure parlare di "PERMUTAZIONI CICLICHE DI n OGGETTI".
Una "permutazione ciclica di n oggetti" è
"uno dei modi in cui tali oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare, come se fossero giocatori di carte".
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E' evidente che la situazione
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coincide, in questo contesto, con ciascuna delle seguenti (giocatori “ruotati”):
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per cui
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il numero è uguale al numero delle permutazioni di n oggetti, diviso per n:
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q Es. 10 - In quanti modi si possono disporre 5 giocatori di carte intorno a un tavolo?
R.: 4! = 24