MATEMATICA E MODELLI DELLA REALTA’
MODELLIZZAZIONE; LA MATEMATICA DEL CITTADINO
Nelle nuove Indicazioni Nazionali per la Scuola Superiore riformata, emanate nell’anno 2010,
compaiono con insistenza, in relazione alla Matematica, i termini “modello” e “modellizzazione”.
Si dice, insomma, che lo studente dovrebbe imparare a “modellizzare”.
Ma cosa significa “modellizzare”?
Cosa si intende per “modello matematico”?
Costruire un “modello matematico” significa
partire da una situazione del mondo reale e descrivere i suoi aspetti essenziali in termini matematici.
Le fasi in cui si articola la “modellizzazione matematica” sono:
1) Costruzione del modello
Il problema, la situazione, il fenomeno in esame vengono “tradotti in linguaggio matematico”.
Si concentra la propria attenzione sulle caratteristiche ritenute essenziali,
tralasciando gli elementi che appaiono secondari o “di contorno”.
2) Approfondimento degli aspetti puramente “matematici” del modello
Si studia dal punto di vista della matematica pura la struttura così costruita,
con l’obiettivo di determinare valori inizialmente incogniti,
di analizzare le relazioni fra le quantità in gioco,
di formulare ipotesi sulla evoluzione nel tempo del “fenomeno” in esame, ecc.
3) Controllo della validità del modello
Si rientra nel contesto reale per verificare se le conclusioni tratte dallo studio matematico
trovino conferma: insomma, viene “testata” l’aderenza effettiva del modello alla realtà.
4) Riformulazione del modello, o se non altro: correzione degli aspetti rivelatisi insoddisfacenti.
Nel caso le conclusioni tratte non siano in accettabile accordo con la situazione concreta,
si riformula il modello, o, perlomeno, lo si corregge e lo si perfeziona: ritorno, quindi, alla fase 1.
Ma allora … detto ciò … ci si domanda quali siano le conseguenze di questa impostazione,
nella concreta attività didattica delle scuole superiori italiane.
Ci si illude forse che i nostri ragazzi, sovente usciti dalla Secondaria di I grado senza aver ben compreso
molte questioni concettuali e operative di base sulle frazioni o sui decimali o sui numeri relativi,
senza aver interiorizzato le proprietà delle operazioni al di fuori della commutativa e dell’associativa,
possano trasformarsi nel corso del quinquennio della Secondaria Superiore in … ingegneri in erba???
Evito qui di addentrarmi in considerazioni, sul sistema dell’Istruzione in Italia, sulla sua
direzione politica e sulla sua riforma del 2010, che finirebbero per condurmi un po’ troppo lontano,
anche se sono certissimo che i miei cari alunni, essendo prima di tutto buoni amici,
non mancherebbero di portarmi qualche arancia e qualche vecchio albo di Tex in galera.
Faccio solo due osservazioni, che vertono su due aspetti fra loro contrastanti della questione.
I) Da una parte, l’invito più o meno esplicito a partire, nell’insegnamento, da situazioni reali,
per modellizzarle interagendo con gli studenti e introdurre così in modo “naturale”
i concetti, le definizioni e le proprietà matematiche, è, a mio parere, magari accattivante sulla carta
ma nella pratica inconciliabile col tempo a disposizione per le lezioni (assai limitato, e gravato
da pesanti vincoli burocratico-organizzativi, a fronte di un programma da svolgere ipertrofico)
II) Dall’altra, un’attenzione maggiore per temi ed esercizi più legati alla vita reale, alla tecnologia,
alla scienza, e più improntati al “problem-solving”, appare in effetti non solo auspicabile,
ma addirittura doverosa, nell’insegnamento contemporaneo della Matematica.
Questa matematica più attenta alle applicazioni, e alla vita di tutti i giorni dello studente-cittadino
immerso in una società in cui occorre saper leggere grafici, interpretare dati, gestire spese e investimenti,
rendere efficienti i processi, effettuare scelte, valutare probabilità, eccetera eccetera,
è d’altronde quella su cui insistono INVALSI e PISA nel certificare le competenze dello studente.
… INVALSI? PISA? Cosa sta dietro queste due sigle vagamente minacciose?
Vediamo.
□ INVALSI =
Istituto Nazionale per la VALutazione del SIstema educativo di istruzione e di formazione
Questo Ente si occupa di verificare, periodicamente e sistematicamente, i livelli di apprendimento
degli studenti nella Scuola italiana. INVALSI predispone e diffonde i testi delle prove, raccoglie
gli esiti delle medesime e ne effettua la valutazione, seguita dall’elaborazione statistica e comparativa
dei dati. Collabora con altre istituzioni internazionali con analoghe finalità, e fra queste PISA.
□ PISA è l’acronimo di Programme for International Student Assessment,
e indica un organismo internazionale che misura con periodicità triennale
i livelli di apprendimento degli studenti dei paesi membri e di altre nazioni “amiche”
(tutte democrazie con un’economia di mercato) all’età di 15 anni (intorno alla quale,
grosso modo, si conclude - nella maggioranza delle nazioni coinvolte - l’obbligo di istruzione)
□ PISA è una iniziativa dell’OCSE.
Visto che siamo in vena di sigle, spieghiamo.
L’OCSE (Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico)
anche detta OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development)
oppure OCDE (Organisation de Coopération et de Développement Économiques)
si occupa di studi economici per i paesi membri, che sono 34 paesi sviluppati
aventi in comune un sistema di governo di tipo democratico ed un'economia di mercato).
Andiamo a leggere direttamente dai documenti ufficiali PISA le parole con le quali
si mettono in evidenza le caratteristiche e le motivazioni dell’attenzione particolare
riservata alla matematica “della modellizzazione”, “della vita reale”, “del cittadino”.
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This orientation reflects a change in the goals and objectives of curricula themselves, which are increasingly concerned with what students can do with what they learn at school and not merely with whether they have mastered specific curricular content.
… media outlets (newspapers, magazines, television and the Internet) are filled with information in the form of tables, charts and graphs about subjects such as weather, climate change, economics, population growth, medicine and sports, to name a few. Citizens are also confronted with the need to read forms, interpret bus and train timetables, successfully carry out transactions involving money, determine the best buy at the market, and so on.
The
… an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a constructive, concerned and reflective citizen.
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Pisa concentra il suo interesse sull’abilità dei giovani di utilizzare la propria conoscenza e destrezza nell’affrontare le sfide della vita reale. Questo orientamento riflette un mutamento negli obiettivi degli stessi programmi di studio, che sono sempre più interessati a ciò che gli studenti sono in grado di fare, piuttosto che al loro padroneggiare o meno determinati contenuti curricolari.
… i mezzi di comunicazione (giornali, riviste, la televisione e Internet) sono pieni di informazioni in forma di tabelle, diagrammi e grafici riguardo a soggetti come il tempo atmosferico, i cambiamenti climatici, l’economia, la crescita della popolazione, la medicina e gli sport, per menzionarne solo alcuni. I cittadini devono pure misurarsi con la necessità di leggere moduli, interpretare orari di autobus e treni, portare a termine positivamente transazioni di denaro, determinare gli acquisti a miglior prezzo, e così via.
Il processo di valutazione matematica PISA focalizza la sua attenzione sulla capacità degli studenti di 15 anni (l’età nella quale molti di loro stanno concludendo la propria istruzione obbligatoria di carattere matematico) di usare le loro conoscenze matematiche per comprendere queste questioni e svolgere le relative mansioni.
PISA definisce la competenza matematica come la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica ha nel mondo, per trarre giudizi ben fondati e utilizzare la matematica in modi che soddisfino le esigenze della vita di quell’individuo nelle vesti di cittadino attivo, partecipe e riflessivo.
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Dunque … calma…. riflettiamo un po’.
Noi ci troviamo qui … nell’Italia della Scuola Superiore riformata …
e desidereremmo un insegnamento-apprendimento della matematica
che riesca a conciliare VERAMENTE TANTISSIME cose!
Ricapitoliamo quali, supponendo di riferirci, in particolare, ad un Liceo Scientifico.
a) I tempi didattici … che sono quelli che sono, con l’obbligo, oltre tutto,
di 2-3 prove scritte e 2 orali per ogni Quadrimestre, o Trimestre, o Penta-Esamestre che sia
b) La necessità di trattare nel dettaglio la materia per quegli aspetti indispensabili
al ragazzo che voglia poi intraprendere una facoltà universitaria scientifica:
Ingegneria, Fisica, Chimica, Biologia, Medicina, Economia …
c) Quel rigore, nel trattare gli argomenti, senza il quale la disciplina non è
• né intellettualmente onesta
• né tale da promuovere davvero le capacità logiche e di analisi dello studente
• né in grado di rapportarsi con la Filosofia e in generale con la storia della cultura
d) La bellezza stessa e il piacere del “fare matematica”
e) La “mathematical literacy” che serve al cittadino di questo caotico, complicatissimo, frenetico
mondo contemporaneo ( … ribellati, ragazzo, pacificamente ribellati, finché sei in tempo!!!).
Come si può tentare un’acrobatica sintesi di tutte queste esigenze? A modesto parere di chi scrive, la e)
dovrebbe dipendere dalle altre, costituirne una conseguenza … peraltro, piuttosto immediata e spontanea.
In relazione agli argomenti di un’unità didattica, o anche come esercitazioni periodiche,
l’insegnante proporrà agli allievi, per il lavoro individuale o di gruppo, quesiti, attività,
approfondimenti più orientati al problem-solving, al mondo reale, alle “esigenze del cittadino”.
Il che dovrà avvenire con una certa regolarità nel corso dell’anno scolastico, in modo che
gli studenti si “abituino” a questa matematica “del concreto”, “del modello”, “del mondo reale”,
quindi anche, perché no, alle prove INVALSI e alle prove PISA.
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Internet può fornire, a questo proposito, tanti contributi fruibili gratuitamente; compito dell’insegnante sarà di selezionarli in base alla affidabilità, efficacia e piacevolezza, e proporli ai ragazzi, che si accostano volentieri (fin troppo, ahimè) ai nuovi media.
□ Ad esempio, il Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova ha dato vita a un progetto interessante e lodevole, chiamato MaCoSa (Matematica per Conoscere e per Sapere), realizzando anche un testo gratuito in 2 volumi, consultabile ai link http://macosa.dima.unige.it/sup1.htm; http://macosa.dima.unige.it/sup2.htm e acquistabile in forma cartacea (per limitare i costi, i ricercatori hanno rinunciato ai Diritti d’Autore) ma utilizzabile anche direttamente dal Web, stampando eventualmente solo le pagine che si desiderano. MaCoSa è ricco di spunti che legano la matematica al mondo reale e all’esperienza concreta, coinvolgendo costantemente il lettore in riflessioni e problemi interessanti e carini.
□ Il progetto PolyMath http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ sulla “bellezza della matematica”, fra le tante bellissime proposte, fra le quali una stupenda raccolta di quesiti http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Archivio/Mappa/Problemiegiochi/ProbeSol.htm ha anche una serie di lezioni che collegano la matematica alla Storia, dell’Arte, ad aspetti della Realtà http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Archivio/Mappa/Argomenti/Matematicae.htm
□ Nelle pagine seguenti presentiamo 45 quesiti messi a punto da PISA parte dei quali inseriti nelle prove già svoltesi. Le risposte si trovano in coda alla rassegna di esercizi (pagine 354-355).
□ Una rassegna di prove INVALSI è invece riportata nell’ultimo capitolo del Volume 2.
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□ di matematica “concreta”, □ di matematica “giocosa”, □ nonché proposte di quesiti e quiz.
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