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12 - APPROSSIMAZIONI DI PI GRECO |
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Se indichiamo con inscritto nella circonferenza di raggio R, allora si dimostra che la misura del lato del poligono regolare, inscritto nella stessa circonferenza, ma avente numero di lati DOPPIO, è dato da
Poniamo ora
per semplicità R=1; la formula diventa
Se
partiamo dall’esagono regolare inscritto
(
applicando ripetutamente
questa formula potremo calcolare
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Osserviamo ora che i perimetri dei corrispondenti poligoni regolari inscritti costituiscono approssimazioni per difetto, sempre più precise, della lunghezza della circonferenza.
Ma tale lunghezza è data da
per cui i SEMIperimetri dei poligoni regolari considerati costituiranno approssimazioni per difetto, sempre
più precise, del numero
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Esercizio 39)
Scrivi un programma Pascal che, a partire dal lato dell’esagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio R=1 ( del poligono regolare inscritto avente: 12, 24, 48, 96, 192 … lati, e mandi in output tale misura insieme con la misura del SEMIperimetro del poligono corrispondente.
Tali semiperimetri forniranno una successione di
approssimazioni via via più precise, del numero
Fai in modo che sia l’utente a stabilire il numero di iterazioni.
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ALCUNE
FAMOSE E BELLE FORMULE PER IL CALCOLO DEL VALORE DI |
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q
q
(conseguenza della precedente)
q
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q
q
q
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In questa famiglia di formule, si hanno
· delle “somme infinite” (nel senso di: “somme di infiniti addendi”)
· o dei “prodotti infiniti” (nel senso di: “prodotti di infiniti fattori”)
e prendendo un certo numero di termini a partire da quello iniziale (es.: i primi 5, i primi 100 …) si
ottiene un valore approssimato di con l’approssimazione che diventa via via più precisa quanto più si fa alto il numero dei termini considerati.
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NOTA (il computer è COSTRETTO ad approssimare)
Un programma Pascal che calcoli il valore dei primi n termini in queste formule non potrà comunque, se n è molto alto, fornire il risultato esatto di quel calcolo, ma soltanto una sua approssimazione. La ragione è che una variabile numerica occupa in memoria un numero prefissato di byte (max 8-10) da cui tutta una serie di possibili errori di overflow, underflow (arrotondamento a 0 se il valore è troppo piccolo), “cancellazione”. C’è poi anche il fatto che il computer lavora in sistema binario, e nella conversione fra il decimale e il binario può essere costretto ad altre approssimazioni, dato il numero limitato di bit utilizzabili. Basti pensare che, ad esempio, il numero che in base dieci si scrive come 0.1 se viene portato in base due diventa periodico:
Questi problemi sono inerenti alla natura stessa del computer, quindi vanno valutati anche da chi programmi in un linguaggio diverso dal Pascal. Vedi ð per approfondimenti.
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Esercizio 40) - Vedi NOTA qui a fianco
Scrivi un programma Pascal che fornisca una approssimazione di tramite una a tua scelta delle formule sopra riportate. Fai in modo che sia l’utente a stabilire quanti termini utilizzare.
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